密码学基础群 循环群,生成元 ppt课件.ppt

群的概念
定义 设G是一个非空集合, “∗”是G是上的一个代数运算, 即
对所有的a, b∈G, 有a∗b∈G.
如果G的运算还满足:
(G1)结合律:即对所有的a, b, c∈G, 有
(a∗b)∗c=a∗(b∗c)(G2) G中存在元素e, 使得对每个a∈G, 有
e∗a=a∗e=a
(G3) 对G中每个元素a, 存在元素b∈G, 使得
a∗b=b∗a=e.
则称G关于运算“∗”构成一个群(group), 记为(G, ∗).
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注1: (G2)中的元素e 称为群G的单位元(unit element)或恒等元(identity). 群G的单位元是唯一的.
注2: (G3)中的元素b称为元素a的逆元(inverse).元素a的逆元是唯一的,记为a-1. 即有a∗a-1=a-1∗a=e
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你怎么称呼老师？
如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你是否会认为老师的教学方法需要改进？
你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？
教师的教鞭
“不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
“太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
有限群
交换群
如果群G的运算还满足:
(G4)交换律:即对所有的a, b∈G, 有a∗b=b∗a.
则称G是一个交换群(commutative group),或阿贝尔群(abelian group).
G中元素的个数称为群G的阶(order), 记为|G|. 如果|G|是有限数,则称G是有限群(finite group), 否则称G是无限群(infinite group).
例: 整数加群(Z,+); 有理数加群(Q,+); 实数加群(R,+); 复数加群(C,+).
令Q*=Q-{0}, (Q*, ×)是群; Q+={q∈Q| q>0}, (Q+, ×)是群.
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群的概念
例1 设G={1, -1, i, -i}, 则(G, ×) 是一个有限交换群.
元素a
1
-1
i
-i
逆元a-1
1
-1
-i
i
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例2 设m∈Z+, Zm={0,1,…, m-1}, 则(Zm, ⊕) 是一个有限交换群. 称为模m剩余类加群.
单位元是e=0; a∈Zm的逆元a-1= m-a.
特别地: 取m=5, 有Z5={0,1,2,3,4},
元素a
0
1
2
3
4
逆元a-1
0
4
3
2
1
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有时把交换群(G, ∗)记为(G, +), 称为“加群”.
把运算“∗”称为“加” 法, 运算结果记为: a∗b= a+b,称为a与b的“和”;
单位元称为“零元”, 记为“0”;
a∈G的逆元称为G的负元,记为: “- a”, 即有a+(-a)= 0.
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例1
G={1, -1, i, -i}, (G, *)是一个有限交换群. 可记为: (G, *)= (G, +), 运算式为:
1+(-1)=-1, 1+i=i, 1+(-i)=-i, (-1)+i=-i, (-1)+(-i)=i, i+(-i)=1, 1+1=1
请问零元是？利用 a+e＝e+a=a
试求 (-i)+(-i), i+i, (-1)+(-1).
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例2 加群: (Z5,⊕)=(Z5,+), 其中Z5={0,1,2,3,4}. 零元0=0,负元为:
元素x
0
1
2
3
4
负元-x
0
4
3
2
1
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