线性方程组解题方法技巧与题型归纳.doc

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线性方程组解题方法技巧与题型归纳
题型一 线性方程组解的基本概念
【例题1】如果α1、α2是方程组的两个不同的解向量，则a的取值如何？
解： 因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)= r(Ab)＜3，
对增广矩阵进行初等行变换：
易见仅当a=-2时，r(A)= r(Ab)=2＜3，
故知a=-2。
【例题2】设A是秩为3的5×4矩阵， α1、α2、 α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T, 3α1+α2= （2，4，6，8）T,求方程组Ax=b的通解。
解:因为r(A)= 3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4- r(A)= 1个向量构成，
又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2） =2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T, 是Ax=0的解，
即其基础解系可以是（0，2，3，4）T,
由A （α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b知1/4 （α1+α2+2α3）是Ax=b的一个解，
故Ax=b的通解是
【例题3】已知ξ1=（-9，1，2，11）T，ξ2=（1，- 5，13，0）T，ξ3=（-7，-9，24，11）T是方程组的三个解，求此方程组的通解。
分析：求Ax=b的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。
解：A是3×4矩阵， r(A)≤3，由于A中第2，3两行不成比例，故r(A)≥2，又因为
η1=ξ1-ξ2=（-10，6，-11，11）T, η2=ξ2-ξ3= (8,4,-11,-11)T是Ax=0的两个线性无关的解向量，
于是4- r(A)≥2，因此r(A)=2，所以ξ1+k1η1+k2η2是通解。
总结：
不要花时间去求方程组，太繁琐，由于ξ1-ξ2，ξ1-ξ3或ξ3-ξ1，ξ3-ξ2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系，ξ1，ξ2，ξ3都是特解，此类题答案不唯一。
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题型2 线性方程组求解
【例题4】矩阵B 的各行向量都是方程组的解向量，问这四个行向量能否构成上方程组的基础解系？若不能，这4个行向量是多了还是少了？若多了如何去掉，少了如何补充？
解：将方程组的系数矩阵A化为行最简形阵
r(A)=2,n=5,因而一个基础解系含有3个解向量
α1=（1，-2，1，0，0）T, α2=(1,-2,0,1,0)T, α3=(5,-6,0,0,1)T,
B矩阵的r3=r1-r2，r4=3r1-2r2， B中线性无关的行向量只有1，2行，故B中4个行向量不能构成基础解系，需增补α3。
题型3 含参数的线性方程组解的讨论
(A)≠r(Ab)，方程组无解；
(A)=r(Ab)，方程组有解，继续讨论
（1）参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)＜n，方程组有无穷