高等数学考研知识点总结1.doc

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第一讲 函数、极限与连续
一、考试要求
1． 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。
2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3． 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4． 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
5． 理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极限存 在与左、右极限之间的关系。
6． 掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。
7． 掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极 限求极限的方法。
8． 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。
9． 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型
10． 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
11. 掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。
二、内容提要
1、函数
（1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系.
（2）复合函数: y=f(u), u=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域.
（3）分段函数: 注意，为分段函数.
（4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。
（5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性
* 注：1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。
特别：若为偶函数且存在，则
2、若为偶函数，则为奇函数；
若为奇函数，则为偶函数；
3、可导周期函数的导函数为周期函数。
特别：设以为周期且存在，则。
4、若f(x+T)=f(x), 且，则仍为以T为周期的周期函数.
5、设是以为周期的连续函数，则
6、 若为奇函数，则；
若为偶函数，则
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7、设在内连续且存在，
则在内有界。
2、 极限
(1) 数列的极限：
(2) 函数在一点的极限的定义：
(3) 单侧极限: 1) 左右极限
2) 极限存在的充要条件：
(4) 极限存在的准则
1) 夹逼定理： 数列情形，函数情形
2) 单调有界数列必有极限
(5)极限的基本性质：唯一性，保号性，四则运算
*1）极限不等式
注：不成立
2）局部保号性
则在某内
3）局部有界性 则在某内有界。
4）
(6) 两类重要极限
(7) 无穷小量与无穷大量
1) 无穷小量; 2) 无穷大量; （注意与无界变量的差异）
3) 无穷小量与无穷大量的关系
(8) 无穷小量阶的比较
(9) 罗比达法则
3、连续
1) 连续的定义
2) 区间上的连续函数