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考研概率
1、概念网络图
一、基本概念总结
2、最重要的5个概念
（1）古典概型（由比例引入概率）
例1：3男生，3女生，从中挑出4个，问男女相等的概率？
例2：有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有1个是黑色的概率？
（2）随机变量与随机事件的等价（将事件数字化）
例3：已知甲、乙两箱中装有两种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：
乙箱中次品件数X的数学期望。 （2） 从乙箱中任取一件产品是次品的概率。
例4：将一枚均匀硬币连掷三次，以X表示三次试验中出现正面的次数，Y表示出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值，求（X，Y）的联合分布律。
（3）分布函数（将概率与函数联系起来）

（4）离散与连续的关系

例5：见“数字特征”的公式。
（5）简单随机样本（将概率和统计联系在一起）
样本是由n个同总体分布的个体组成的，相当于n个同分布的随机变量的组合（n维随机变量）。
例6：样本的是已知的，个体（总体）的未知，矩估计：，完成了一个从样本到总体的推断过程。
二、做题的19个口诀（概率16个，统计3个）
1、概率
（1）题干中出现“如果”、“当”、“已知”的，是条件概率。
例7：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问第二次打开的概率？
例8：设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 。
（2）时间上分两个阶段的，用“全概公式”或者“贝叶斯公式”。
例9：玻璃杯成箱出售，每箱20只，设各箱含0，1，,
。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：
（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；
（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。
（3）“只知次数，不知位置”是“二项分布”。
例10：抛5次硬币，其中有3次正面朝上的概率？

例11：1对夫妇生4个孩子，2男2女的概率？
例12：某厂家生产的每台仪器，，，，。现该厂新生产了台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求
全部能出厂的概率α；
恰有两台不能出厂的概率β；
（7）求随机变量函数的分布密度，从分布函数的定义入手。
例18：设X的分布函数F(x)是连续函数，证明随机变量Y=F（X）在区间（0，1）上服从均匀分布。
（8）二维随机变量的概率分布从两个事件相交的本质入手。
，
（9）二维连续型随机变量的边缘分布由画线决定积分的上下限。
例19：设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中
求X的边缘密度。
（10）求二维连续型随机变量的函数分布或者某个区域内的概率，由画图计算相交部分（正概率区间和所求区域的交集）的积分。
例20：设随机变量（X，Y）的分布密度为
试求U=X-Y的分布密度。
（11）均匀分布用“几何概型”计算。
例21：设随机变量（X，Y）的分布密度为
试求P(X+Y>1)。
（12）关于独立性：对于离散型随机变量，有零不独立；对于连续型随机变量，密度函数可分离变量并且正概率密度区间为矩形。
例22：设X～e（1）， （k=1, 2）,求：
（1）的分布；
（2）边缘分布，并讨论他们的独立性；
（3）
例23：如图，f(x,y)=8xy, fX(x)=4x3, f
Y(y)=4y-4y3，不独立。
y
1
D1
O 1 x
例24：f(x,y)=,判断X和Y的独立性。

（13）二维随机变量的期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y)，由边缘分布来求。
例25：设，为两个随机事件,且, , , 令

求
(Ⅰ) 二维随机变量的概率分布;
(Ⅱ) 与的相关系数 ;
(Ⅲ) 的概率分布.
（14）相关系数中的E(XY)，对于离散型随机变量，根据XY的一维分布来求；对于连续型随机变量，按照函数的期望来求。
例26： 连续型随机变量：E(XY)＝
（15）应用题：设Y为题干中要求期望的随机变量，a为最后题目所求，然