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考研数学复****题
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五、（导）函数的零点（方程的根或曲线与轴的交点）
1、函数方程的根
三种语言：函数的零点，曲线与轴的交点，方程的根
常用方法： 存在性 闭区间上连续函数的介值定理
唯一性 单调性(导数的符号); 反证法；
简单作图（单调区间，极值），分析与轴的相对位置
设常数，在内
零点个数为

当取何值时，恰好
有两个不同零点
2 4 6 8
（3）若，则方程
无实根 有唯一实根
有三个不同实根 有五个不同实根
（4）设函数在连续，且，
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则在内的根是
0 1 2 无穷多个
（5）在内，方程
无实根 有且仅有唯一实根
有且仅有两个实根 有无穷多个实根
（6）证明 在内有
且仅有两个不同实根
（7）讨论 的零点个数
（8）讨论曲线与的交点个数
（2003,2）
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（9）就的不同取值，确定方程在
内根的个数，并证明你的结论
（10）求方程不同实根的个数，
其中为参数
（2011,1）
（11）设有方程，其中为正整数，
证明此方程存在唯一正实根
（2004,1）
(12)证明方程恰有2个实根
（2011,3）
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第三部分 一元函数积分学
一 、基本要求
1掌握不定积分的基本性质和基本积分公式
2掌握不定积分的换元与分部积分法
3会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分
(数一、二)
4理解定积分的概念和基本性质，掌握定积分中值定理
5理解积分上限函数，并会求其导数
6会计算反常积分
7掌握定积分计算平面图形的面积，旋转体的体积和函数的平均值；（仅数一、二要求）掌握用定积分计算平面曲线的弧长，旋转体的侧面积，平行截面面积已知的立体体积；功
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的一个原函数，因为是只有一个间断点的有界函数，所以可积，且
2 不定积分的性质上
其中



3 基本公式（熟）


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4 基本积分法 重要
凑微分法: 熟悉常见的凑微分因子
换元法: 三角代换 、根式代换、倒代换、指数代换、其他代换
分部积分法: 适用于两种不同类型函数乘积的积分
注：，，，等在初等函数范围内没有原函数！
5 定积分定义

连续可积，即



特例： ，即 等分

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如，
（1）
（2）
（3）
（4）（2004,2） 等于



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（5）
6 定积分性质
（1）
（2）
（3）线性性质、可加性
（4）
以上性质用于计算！
（5）比较定理 若在可积
且，则
事实上，若在连续，
且，只要不恒等于，
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