孤立波.ppt

孤立波
第一节历史回顾
第二节 KdV方程
第三节正弦—高登方程
第四节非线性薛定谔方程与
光学孤立子
1. 一个奇特的水波
2. 孤立波与孤立子
第一节历史回顾
1. 一个奇特的水波
一个奇特的水波
约170年前,苏格兰海军工程师罗素( Russell)在一次偶然中观察到一种奇特的水波。
1844年,他的报告:“我看到两匹骏马拉着一条船沿运河迅速前进。当船突然停止时,随船一起运动的船头处的水堆并没有停止下来。它激烈地在船头翻动起来,随即突然离开船头,并以巨大的速度向前推进。
一个轮廓清晰又光滑的水堆,犹如一个大鼓包,沿着运河一直向前推进在行进过程中其形状与速度没有明显变化。
我骑马跟踪注视,发现它保持着起始时约 30 英尺长,1- 英尺高的浪头,约以每小时8-9英里的速度前进后来,在运河的拐弯处消失了”。
罗素称之为孤立波- Solitary wave。
罗素的发现
1. 一个奇特的水波
水槽中的实验
罗素在一长水槽的一端,用一重锤垂落入水中,反复的观察重锤激起的水
浪的运动。
实验结论
水波移动速度 v、水的深度 d 及水波幅度 A的关系为:
B 为比例常数
实验结果说明水波的运动速度与波幅高度有关,波幅高的速度较快,且
波幅的宽度对高度之比也相对较窄。
罗素的发现
1. 一个奇特的水波
KdV方程
半个世纪后,1895年,两位荷兰科学家科特维格(Kortweg)与德弗雷斯(de Vries) 认为:罗素观察到的孤立波是波动过程中非线性效应与色散现象互相平衡的结果。他们建立了KdV方程:
解
sech(x)为双曲正割函数,具有钟形形状。
FPU问题
又过半个多世纪,1955年,美国阿尔莫斯国家实验室,著名物理学家费米()、帕斯塔()和乌莱姆(Ulam) 设计了一个数值计算实验:“非线性弹簧联结的64个质点组成弦的振动”,发现初始对少数质点激发,长时间后能量几乎全部回到了初始集中在少数质点上的状态。
漫长的发展史
1. 一个奇特的水波
1965年两位美国数学家,采布斯基(Zabusky)与克鲁思卡尔(Kruskal),用计算机计算发现, FPU 问题与 KdV 方程的解直接有关。此后,人们发现,在许多物理体系中都存在KdV方程,说明孤立波是一种普遍存在的物理现象。 KdV方程成为数学物理的一个基本方程
孤立波方程
在理论上和实验上已对孤立波巳作了大量的研究。此后发现,除KdV方程外还有其它微分方程具有孤立波解。
在数学上通常认为下列非线性方程的解的性质具有孤立波特性。
(1)KdV方程
(2)正弦—高登(Sine-Gordon)方程
(3)户田()非线性晶格方程
(4)非线性薛定谔方程(NLSE)
漫长的发展史
在形态上孤立波是存在于自然界里的相干结构(coherent structure,或称拟序结构)。从美丽的木星上的巨型红斑到固体中的电荷密度波都属于这样的有序结构。
从运动形式上相干结构与混沌运动既是相互对立的。混沌运动是非线性中奇妙的无序状态,相干结构反映了非线性系统中的惊人有序性。
孤立波
在尺度上:大到天文范围(木星上巨型红斑达4×108米,约地球与月亮之间的距离;泰国安达曼海面出现的孤立波约150公里宽;水面上孤立水波的尺寸在1米量级),小到纳米(二硫化钽晶体中的电菏密度孤立波)。


孤立子
计算发现,两个在空间传播的孤立波具有碰撞特性,说明:
(1)孤立波非常的稳定;(2)象一个物质粒子。
人们将具有碰撞特性孤立波称为“孤立子- soliton”,简称“孤子”。孤立子是由非线性场所激发的、能量不弥散的、形态上稳定的准粒子。

孤立子
定义
①向单方向传播的行波;
②分布在空间的一个小区域中;
③波动形状不随时间演变而发生变化;
④孤立波之间的相互作用具有类似粒子一样的弹性碰撞。
孤立子具有一切粒子所具有的特性,如能量、动量、质量、电荷、自旋等等,也遵循一般的自然规律,如能量、动量、质量守恒定律。它又有波动性,存在于一切可以出现波动的介质里。
孤立波子哪里?
孤立波除存在于浅水层外,还可在水层深处。固体介质、电磁场、等离子体、生物体、以及微观粒子的波动性中都可能有孤立波存在。它是一种行波,既可以速度 v 在空间传播,又可以处于静止状态。

孤立波类型
( i )波包型
(ii)凹陷型
(iii)扭结型
(iv)反扭结型
( i )、(ii) 两种是在
时,
(iii)、(iv) 两种是在
时,
u(x)趋近于不同的数值