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计算流体力学
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4 离散化的基本方法
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引言
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引言
理论上，根据偏微分方程的解能得
在网格点3，
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有限差分基础
边界网格点
得
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有限差分基础
边界网格点
对y求导得：
在边界点1，
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有限差分基础
边界网格点
得：
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有限差分基础
边界网格点
根据
知
为三阶精度
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有限差分基础
边界网格点
故
为两阶精度
为三阶精度
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有限差分基础
边界网格点
为单侧差分
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差分方程
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差分方程
对一个给定的偏微分方程，如果将其中所有的偏导数都用有限差分来代替，所得到的代数方程叫做差分方程，它是偏微分方程的代数表示。
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差分方程
考虑非定常一维热传导方程：
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差分方程
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差分方程
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差分方程
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差分方程
偏微分方程：
差分方程：
截断误差：
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差分方程
差分方程是一个代数方程，如果在右图所示区域内所有网格点上都列出差分方程，就得到一个联立的代数方程组。
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差分方程
当网格点的数量趋于无穷多，也就是
时，差分方程能否还原为原来的微分方程呢？
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差分方程
截断误差：
截断误差趋于零，从而差分方程确实趋近于原微分方程。
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差分方程
从而差分方程确实趋近于原微分方程，
如果，
截断误差趋于零，
此时我们说偏微分方程的这个有限差分表示是相容的。
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差分方程
原微分方程与相应的差分方程之间的区别
截断误差：
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差分方程
原微分方程的解析解与差分方程的解之间的区别
离散误差：
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显式方法与隐式方法
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显式方法
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显式方法
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显式方法
上述方程是抛物型方程，可以推进求解，推进变量是时间t
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显式方法
边界条件已知
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显式方法
边界条件已知
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显式方法
显式方法中每一个差分方程只包含一个未知数，从而这个未知数可以用直接计算的方法显式地求解。显式方法是最简单的方法。
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隐式方法
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隐式方法
克兰克－尼科尔森格式
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隐式方法
对于排列在同一时间层所有网格点上的未知量，必须将它们联立起来同时求解，才能求出这些未知量，这种方法就定义为隐式方法。
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隐式方法
由于需要求解联立的代数方程组，隐式方法通常涉及大型矩阵的运算。隐式方法比显式方法需要更多、更复杂的计算。
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隐式方法
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隐式方法
A，B，Ki 均为已知量
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隐式方法
A，B，Ki 均为已知量
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隐式方法
在网格点2：
A，B，Ki 均为已知量
T1 为边界条件，已知量
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隐式方法
在网格点3：
A，B，Ki 均为已知量
在网格点4：
在网格点5：
现在学****的是第77页，共111页
隐式方法
A，B，Ki 均为已知量
在网格点6：
T7 为边界条件，已知量
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