立体几何的解题技巧.doc

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立体几何新题型的解题技巧
【命
命题目的：此题主要考察直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离根本知识，考察空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.
Q
B
C
P
A
D
O
M
过程指引：方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角；方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法.
解答过程：方法一　〔Ⅰ〕取AD的中点，连结PM，QM.
因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，
所以AD⊥PM，AD⊥QM. 从而AD⊥平面PQM.
又平面PQM，所以PQ⊥AD.
同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.
〔Ⅱ〕连结AC、BD设，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、，连接PN.
因为，所以，
从而AQ∥PN，∠BPN〔或其补角〕是异面直线AQ与PB所成的角.
因为，
所以.
从而异面直线AQ与PB所成的角是.
(Ⅲ)连结OM，则
所以∠MQP＝45°.
由〔Ⅰ〕知AD⊥平面PMQ，所以平面PMQ⊥平面QAD. 过P作PH⊥QM于H，PH⊥.
又.
Q
B
C
P
A
D
z
y
*
O
即点P到平面QAD的距离是.
方法二　〔Ⅰ〕连结AC、BD，设.
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由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.
从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.
〔Ⅱ〕由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.
由〔Ⅰ〕，QO⊥平面ABCD. 故可分别以直线CA、DB、QP为*轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系〔如图〕，由题条件，相关各点的坐标分别是P〔0，0，1〕，A〔，0，0〕，Q〔0，0，－2〕，B〔0，，0〕.
所以
于是.
(Ⅲ)由〔Ⅱ〕，点D的坐标是〔0，－，0〕，，
，设是平面QAD的一个法向量，由
得.
取*=1，得.
所以点P到平面QAD的距离.
考点2 异面直线的距离
此类题目主要考察异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离.
典型例题
例3三棱锥，底面是边长为的正三角形，棱的长为2，，求CD与SE间的距离.
思路启迪：由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离.
解答过程：
如下图，取BD的中点F，连结EF，SF，CF，
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为的中位线，∥∥面,
到平面的距离即为两异面直线间的距离.
又线面之间的距离可转化为线上一点C到平面
的距离，设其为h，由题意知，,D、E、F分别是
AB、BC、BD的中点，
在Rt中，
在Rt中，
又
由于，即，解得
故CD与SE间的距离为.
小结：通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程.
考点3 直线到平面的距离
此类题目再加上平行平面间的距离，主要考察点面、线面、面面距离间的转化.
典型例题
例4．如图，在棱长为2的正方体中，G是的中点，求BD到平面的距离.
B
A
C
D
O
G
H
思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离
的方法求解.
解答过程：解析一∥平面，
上任意一点到平面的距离皆为所求，
以下求点O平面的距离,
，，平面,
又平面平面，两个平面的交线是,
作于H，则有平面，即OH是O点到平面的距离.
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在中，.
又.
即BD到平面的距离等于.
解析二∥平面，
上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求点B平面的距离.