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第11章小波变换武汉理工大学信息学院 引言 引言 离散小波变换 离散小波变换 小波在图像处理中的应用 小波在图像处理中的应用 加窗傅里叶变换?加窗傅里叶变换–经典傅里叶变换是以全时域作为整体进行分析的,信号的时变特性得不到体现,为了分析非平衡信号,或信号的局域特性,人们发展了信号的时频分析法,加窗傅里叶变换(也称短时傅氏变换)就是其中的一种,它把非平稳信号看成是一系列短时平稳信号的叠加,而短时性则是通过时域上的加窗来获得. 加窗傅里叶变换?加窗傅里叶变换的加窗傅氏变换定义为() 其中称为窗函数。一般情况下, 为实函数且其傅氏变换的能量集中在低频处,它还可以看作是一低通滤波的脉冲响应,为了归一化,一般取)()( 2RLxf? dx xftxgtwFe jwx)()(),(???????)(xg)(xg1|)(| || || 2?????? dxxgg Z 加窗傅里叶变换?加窗傅里叶变换具有如下性质: (1) 它从到是等距的,即() (2) 可以由重构 f(x ),即() (3) 加窗傅里叶变换是一信号的冗余表示,而且是稳定完备的。 2 ( ) L R )( 22RL????????????? dwdt dxtwFxf|),(||)(| 2 22 1?),(twF dwdt xtgtwFxfe jwx??????????)(),(2 1)(?(4) 如果对所有均匀采样,离散加窗傅里叶变换可定义为 , 且= () 采样间隔和的选择必须覆盖整个相空间,由采样集合,重构的条件是算子 D: 有界可逆,且有 = , () 2),(Rtw? 2),(Zmn??),(),( 00nt mw DF nm DF ? 00 ( ) ( ) jm x w g x nt f x dx e ????? 0t 0w 2), )}( ,({Zmnnm DF?)()( 222ZIRL?)().(xfnm DF ????)( 0 0 ntxge t jmw (5) 加窗傅里叶分析的空域和频率分辨率是常数,在空域这一分解表示所提供的信息在(为窗函数的标准偏差)内是非局域化的。 1?)(xg 连续小波变换?小波变换基底若基本小波函数为。伸缩和平移因子分别为 a和 b ,则小波变换基底定义为() )(xh)()( 2/1,a bxhaxh ba???连续小波变换函数的连续小波变换定义为() 写成内积形式即有() )()( 2RLxf? dx xfxwh ba ab)()( ,????????)( ),( ,,xhxf ba baw 离散小波变换?离散小波变换( DWT ) DWT 可以通过离散化 CWT 中的尺度因子和平移因子得到。通常取() 把其带入式() 可以得到 () Znma nb baa m m???,,, 00 0Znm nb taat m m nm?????,,)()( 00 2/0,??