几何证明题解题技巧.doc

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几何证明题解题技巧
息县五中 敖 勇
【知识精读】
1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种根本类型：一是平面图形的数量关系d
在和中，
说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：
〔1〕制造的全等三角形应分别包括求证中一量；
〔2〕添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。
2、证明直线平行或垂直
在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、错角或同旁角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一〞来证。
例3. 如图3所示，设BP、CQ是的角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。
求证：KH∥BC
分析：由，BH平分∠ABC，又BH⊥AH，延长AH交BC于N，如此BA＝BN，AH＝HN。同理，延长AK交BC于M，如此CA＝CM，AK＝KM。从而由三角形的中位线定理，知KH∥BC。
证明：延长AH交BC于N，延长AK交BC于M
∵BH平分∠ABC
又BH⊥AH
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BH＝BH
同理，CA＝CM，AK＝KM
是的中位线
即KH//BC
说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，如此此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折〔轴对称〕而成一个等腰三角形。
例4. ：如图4所示，AB＝AC，。
求证：FD⊥ED
证明一：连结AD
在和中，
说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。
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证明二：如图5所示，延长ED到M，使DM＝ED，连结FE，FM，BM
说明：证明两直线垂直的方法如下：
〔1〕首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见此题证二。
〔2〕找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。
〔3〕证明二直线的夹角等于90°。
3、证明一线段和的问题
〔一〕在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余局部等于另一较短线段。〔截长法〕
例5. ：如图6所示在中，，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。
求证：AC＝AE＋CD
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分析：在AC上截取AF＝AE。易知，。由，知。，得：
证明：在AC上截取AF＝AE
又
即
〔二〕延长一较短线段，使延长局部等于另一较短线段，如此两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。〔补短法〕
例6. ：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，。
求证：EF＝BE＋DF
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分析：此题假如仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G，使BG＝DF。
证明：延长CB至G，使BG＝DF
在正方形ABCD中，
又
即∠GAE＝∠FAE
4、中考题：
如图8所示，为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。
求证：EC＝ED
证明：作DF//AC交BE于F
是正三角形
是正三角形
又AE＝BD
即EF＝AC
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题型展示：
证明几何不等式：
例题：：如图9所示，。
求证：
证明一：延长AC到E，使AE＝AB，连结DE
在和中，
证明二：如图10所示，在AB上截取AF＝AC，连结DF
如此易证
说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。
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【实战模拟】
1. ：如图11所示，中，，D是AB上一点，DE⊥CD于D，交BC于E，且有。求证：
2. ：如图12所示，在中，，CD是∠C的平分线。
求证：BC＝AC＋AD
3. ：如图13所示，过的顶点A，在∠A任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和CQ。设M为BC的中点。
求证：MP＝MQ
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4. 中，于D，求证：
【试题答案】
1.