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第三章矩阵分析及其应用 1
第三章矩阵分析及其应用
引言:一元多项式 m
f (t) = c0 + c1t + L+ cm t
矩阵多项式 m
f (A) = c0 I + c1 A + L+ cm A (∀An×n )
易见, f (A) 是以矩阵为自变量且取值为矩阵的一类函数.
本章研究一般的以矩阵为自变量且取值为矩阵的函数——矩阵函数
§ 矩阵序列
一、敛散性:将矩阵序列 A()k = a (k ) (k = 1,2,3, ) 记作 A(k ) .
( ij )m×n L { }
()k (k )
若 limaij = aij (∀ i, j), 称{A }收敛于 A = (aij )m×n ,记作
k→∞
lim A(k ) = A ,或者 A(k ) → A (k →∞)
k→∞
()k (k )
若数列{aij }之一发散,称{A }发散.
()k (k )
性质 1 若 A → Am×n , B → Bm×n ,则对∀λ1 ,λ2 ∈C ,有
()k (k )
(λ1 A + λ2 B )→(λ1 A + λ2 B)
()k (k ) (k ) (k )
性质 2 若 A → Am×n , B → Bn×l ,则(A B )→(AB).
−1
性质 3 若 A(k )与 A 是可逆矩阵, 且 A()k → A, 则.(A()k ) → A−1
()k (k )
Th1 A → Om×n ⇔∀⋅, A → 0 ;
A()k → A ⇔∀⋅, A(k ) − A → 0 .
证(1) 考虑矩阵范数⋅:
m1
()k (k ) (k )
A → Om×n ⇔ aij → 0 (all i,j) ⇔ aij → 0 (all i,j)
(k ) (k )
⇔ aij → 0 ⇔ A → 0 (k →∞)
∑∑ m
ij 1
()k ()k (k )
(2) A → A ⇔ aij → aij (all i,j) ⇔(aij − aij )→ 0
()k (k )
⇔()A − A → Om×n ⇔∀⋅, A − A → 0
k
二、收敛矩阵:若 An×n 满足 A → On×n ,称 A 为收敛矩阵.
第三章矩阵分析及其应用 2
Th2 A 为收敛矩阵⇔ρ(A) < 1.
1
()A < 1, 对ε= [1 −ρ()A ]> 0 ,存在矩阵范数•,
2 M
1
使得 A ≤ρ()A + ε= []1 + ρ()A < 1
M 2
k
于是有 Ak ≤ A → 0 ,故由定理 1 可得 Ak → O .
M M
Ak → O , 设 Ax = λx (x ≠ 0), 则有
λk x = Ak x → 0 ⇒λk → 0 ⇒λ< 1
故ρ()A < 1.
Th3 若矩阵范数•使 A < 1,则 Ak → O .
M M
证ρ A ≤ A < 1 ⇒ Ak → O .
() M
  k
例如: A = , A = < 1 ⇒ A → O
  1
§ 矩阵级数
∆∞
A()k = a (k ) : A()0 + A(1)+ + A(k )+ = A(k )
()ij m×n L LL ∑
k=0
∆ N
部分和 S ()N = ∑ A(k )构成矩阵序列{S (N )}.
k=0
一、敛散性若 lim S ()N = S , 称 A(k ) 收敛于 S ,记作 A(k ) = S ;
N →∞∑∑
若{S (N )}发散,称∑ A(k ) 发散.
性质()k (k )
1 ∑ A = S ⇔∑aij = sij (all i,j)
()N (N )
证左⇔ lim S = S ⇔ lim sij = sij (all i,j)
N →∞ N →∞
N
()k
⇔ lim aij = sij (all i,j) ⇔右
N →∞∑
k=0
性质若()k 收敛,称(k ) 绝对收敛.
2 ∑ aij (all i,j) ∑ A
第三章矩阵分析及其应用 3
(1) ∑ A(k )绝对收敛⇒∑ A(k ) 收敛;
(2) 若∑ A(k )绝对收敛于 S, 对∑ A(k ) 任意重组重排得∑ B ()k ,
则∑ B (k )绝对收敛于 S.
性质