化解不等式中有关“恒成立”问题的技巧.doc

化解不等式中有关“恒成立”问题的技巧郧西县第四中学李昕对于含参数不等式的恒成立问题,我们不是直接去解它,而是通过变量分离,将其转化为最值问题后,得到所求变量的不等式(组),再解得范围,或者转化为函数问题,用函数知识得到所求变量的不等式(组),求出范围。本文针对这个问题总结以下几种方法,希望对大家有所帮助。技巧一:变更主元法例1、若不等式0)2(2)4(2?????axax对任意]1,1[??a恒成立,求x的取值范围。分析:本题可以把x看成参数,a为主元,则关于a的不等式044)2(2?????xxax对任意]1,1[??a恒成立,借助一次函数的性质可使问题快速获解。解:令)2(2)4()(2axaxag?????44)2(2?????xxax,则g(a)>0对任意]1,1[??a恒成立,由??????0)1(0)1(gg,得???????????02306522xxxx,解得x<1或x>).,3()1,(?????点评:对于一次函数f(x)=kx+b,(1)若0)(,0)(??nfmf,则当],[nmx?时恒有f(x)>0.(2)若0)(,0)(??nfmf,则当],[nmx?)(?xf技巧二:(1 2)x?,时,不等式24 0x mx? ??恒成立,??????mD5??m【解析】:不等式24 0x mx? ??即)4(2???xmx,因为(1 2)x?,,所以xxm42???,令xxxxxf44)(2??????,因为(1 2)x?,,函数f(x)在(1,2)上递增,于是f(x)>f(1)=-5,故要使xxm42???恒成立,??m【点评】求解本题通过分类参数,构造新函数,利用函数的单调性,把问题转化为求函数最值问题解决。技巧三:数形结合法例3、当)2,1(?x时,不等式042???mxx恒成立,:令4)(2???mxxxf,则二次函数f(x)在)2,1(?x上函数值恒小于零。结合二次函数图象知,只需满足?????0)2(0)1(ff,即?????????0424041mm,解得5??m,即].5,(????m点评:处理一元二次不等式问题,要把它与二次函数及图象、二次方程紧密联系起来,充分利用数形结合思想来解答。本题还可以