二项式定理.版块二.二项展开式2求展开式中的特定项.学生版（高中数学选修2-3题库）.doc

高中数学选修 2-3 练****题知识内容 ⑴二项式定理???? 0 1 1 2 2 2 ... n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n ? ? ?? ?????? N 这个公式表示的定理叫做二项式定理. ⑵二项式系数、二项式的通项 0 1 1 2 2 2 ... n n n n n n n n n C a C a b C a b C b ? ?? ???叫做?? n a b ?的二项展开式,其中的系数?? 0, 1, 2, ..., rn C r n ?叫做二项式系数, 式中的 r n r r n C a b ?叫做二项展开式的通项,用 1rT ?表示, 即通项为展开式的第 1r?项: 1 r n r r r n T C a b ???. ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式?? n a b ?的展开式项数为 1n?项,各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数 n . ②字母 a 的按降幂排列,从第一项开始,次数由 n 逐项减 1 直到零,字母 b 按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增 1 直到 n . ⑷几点注意①通项 1 r n r r r n T C a b ???是?? n a b ?的展开式的第 1r?项,这里 0, 1, 2, ..., r n ?. ②二项式?? n a b ?的1r?项和?? n b a ?的展开式的第 1r?项 r n r r n C b a ?是有区别的, 应用二项式定理时,其中的 a 和b 是不能随便交换的. ③注意二项式系数( rnC )与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数一定为正,而项的系数有时可为负. ④通项公式是?? n a b ?这个标准形式下而言的,如?? n a b ?的二项展开式的通项公式是?? 11 r r n r r r n T C a b ??? ?( 只须把 b?看成 b 代入二项式定理) 这与 1 r n r r r n T C a b ???是不同的, 在这求展开式中的特定项高中数学选修 2-3 练****题里对应项的二项式系数是相等的都是 rnC , 但项的系数一个是?? 1 rrnC?, 一个是 rnC , 可看出, 二项式系数与项的系数是不同的概念. ⑤设 1, a b x ? ?,则得公式: ?? 1 2 2 1 1 ... ... n r r n n n n x C x C x C x x ? ???????. ⑥通项是 1rT ?? r n r r n C a b ??? 0, 1, 2, ..., r n ?中含有 1 , , , , r T a b n r ?五个元素, 只要知道其中四个即可求第五个元素. ⑦当n 不是很大, x 比较小时可以用展开式的前几项求(1 ) nx?的近似值. ⑴杨辉三角形: 对于 n 是较小的正整数时, 可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理, 二项式系数也可以直接用杨辉三角计算. 杨辉三角有如下规律:“左、右两边斜行各数都是 1. 其余各数都等于它肩上两个数字的和.”⑵二项式系数的性质: ?? n a b ?展开式的二项式系数是: 0 1 2 , , , ..., n n n n n C C C C , 从函数的角度看 rnC 可以看成是 r 为自变量的函数?? f r ,其定义域是: ?? 0, 1, 2, 3, ..., n . 当6n?时,?? f r 的图象为下图: 这样我们利用“杨辉三角”和6n?时?? f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质. ①对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上,这一性质可直接由公式 m n m n n C C ??得到. ②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大; 如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大. 高中数学选修 2-3 练****题由于展开式各项的二项式系数顺次是?? 0 1 2 1 1, , 1 1 2 n