【步步高】（全国通用）2016版高考数学大二轮总复习 增分策略 专题四 数列 推理与证明 第3讲 数列的综合问题试.doc

【步步高】（全国通用）2016版高考数学大二轮总复习 增分策略 专题四 数列 推理与证明 第3讲 数列的综合问题试.doc1 第3讲数列的综合问题 1. (2015 · 湖南) 已知 a>0 ,函数 f(x)=e ax sin x(x∈[0 ,+ ∞)) .记 x n为f(x) 的从小到大的第 n(n∈N *) 个极值点,证明:数列{f(x n )} 是等比数列. 2. (2014 · 课标全国Ⅱ) 已知数列{a n} 满足 a 1=1,a n+1=3a n+ 1. (1) 证明{a n+ 12 } 是等比数列,并求{a n} 的通项公式; (2) 证明 1a 1+ 1a 2+…+ 1a n< 32 . 2 1. 数列的综合问题,往往将数列与函数、不等式结合,. 以等差数列、等比数列为背景, . 将数列与实际应用问题相结合,考查数学建模和数学应用. 热点一利用 S n,a n 的关系式求 a n1 .数列{a n} 中, a n与S n 的关系: a n= S 1n=1S n-S n-1n≥2 . 2 .求数列通项的常用方法(1) 公式法:利用等差(比) 数列求通项公式. (2) 在已知数列{a n} 中,满足 a n+1-a n=f(n) ,且 f (1) +f (2) +…+f(n) 可求,则可用累加法求数列的通项 a n. (3) 在已知数列{a n} 中,满足 a n+1a n=f(n) ,且 f (1) ·f (2) ·…· f(n) 可求,则可用累积法求数列的通项 a n. (4) 将递推关系进行变换,转化为常见数列( 等差、等比数列). 例1 数列{a n} 中, a 1=1,S n 为数列{a n} 的前 n 项和,且满足 2a na nS n-S 2n= 1(n≥ 2) .求数列{a n} 的通项公式. 思维升华给出 S n与a n 的递推关系,求 a n ,常用思路:一是利用 S n-S n-1=a n(n≥ 2) 转化为 a n 的递推关系,再求其通项公式;二是转化为 S n 的递推关系,先求出 S n与n 之间的关系,再 3 求a n. 跟踪演练 1 已知正项数列{a n} 的前 n 项和为 S n,且S n= a na n+24 , 则数列{a n} 的通项公式是________ . 热点二数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景,给出数列所满足的条件,通常利用点在曲线上给出 S n 的表达式, 还有以曲线上的切点为背景的问题, 解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系, 将条件进行准确的转化. 数列与不等式的综合问题一般以数列为载体, 考查最值问题,不等关系或恒成立问题. 例2 已知二次函数 y=f(x) 的图象经过坐标原点,其导函数为 f′(x)=6x-2 ,数列{a n}的前n 项和为 S n ,点(n,S n )(n∈N *) 均在函数 y=f(x) 的图象上. (1) 求数列{a n} 的通项公式; (2) 设b n= 3a na n+1,T n 是数列{b n} 的前 n 项和, 求使得 T n< m 20 对所有 n∈N * 都成立的最小正整数 m. 思维升华解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点: (1) 数列是一类特殊的函数, 函数定义域是正整数,在求数列最值或不等关系时要特别重视; (2) 解题时准确构造函数,利用函数性质时注意限制条件; (3) 不等关系证明中进行适当的放缩. 跟踪演练 2 (2015 · 安徽)设n∈N *,x n 是曲线 y=x 2n+2+1 在点(1,2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标. (1) 求数列{x n} 的通项公式; (2) 记T n=x 21x 23…x 22n-1 ,证明: T n≥ 14n .4 热点三数列的实际应用用数列知识解相关的实际问题,关键是合理建立数学模型——数列模型,弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型, 它的首项是什么, 项数是多少, 然后转化为解数列问题. 求解时, 要明确目标,即搞清是求和,还是求通项,还是解递推关系问题,所求结论对应的是解方程问题,还是解不等式问题,还是最值问题,然后进行合理推算,得出实际问题的结果. 例3 自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来,在 11 个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园,台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务,某台商第一年年初到大陆就创办了一座 120 万元的蔬菜加工厂 M,M 的价值在使用过程中逐年减少,从第二年到第六年,每年年初 M 的价值比上年年初减少 10 万元,从第七年开始,每年年初 M 的价值为上年年初的 75%. (1) 求第 n 年年初 M 的价值 a n 的表达式; (2) 设A n= a 1+a 2+…+a nn ,若A