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第二节　不等式的证明.doc专业文档珍贵文档第二节不等式的证明[基础达标]解答题(每小题 10分,共 40分)1. (2015 ·湖南高考)设a> 0,b> 0,且 a+b= .证明: (1) a+b ≥ 2; (2) a 2 +a< 2与 b 2 +b< 2不可能同时成立. 【解析】由 a+b= ,a> 0,b> 0,得ab= 1. (1) 由基本不等式及 ab= 1,有 a+b ≥2=2, 即 a+b ≥ 2. (2) 假设 a 2 +a< 2与 b 2 +b< 2同时成立, 则由 a 2 +a< 2及 a> 0得 0 <a< 1; 同理得 0 <b< 1,从而 ab< 1, 这与 ab= 2 +a< 2与b 2 +b< 2不可能同时成立. f(x) =x-c . (1) 若 c=- 1,求不等式 f(x)≤|x+ 1 |+x 的解集 A; (2) 若 a>b>c ,求证:.【解析】(1) 原不等式可化为|x+ 1|≥ 1, 由此可得 x≥0或x≤- f(x)≤|x+ 1 |+x 的解集 A为{ x|x ≥0或x≤-2}. 专业文档珍贵文档(2) 由=2+≥4, 所以,即成立. 当,即 a+c= . (2015 ·河南六市联考)设不等式-2 <|x- 1 |-|x+ 2 |<0的解集为 M,a,b∈M. (1) 证明:a+ b<; (2) 比较|1-4ab| 与2 |a-b| 的大小.【解析】(1) 记f(x) =|x- 1 |-|x+ 2 |= 由-2 <-2 x-1<0解得- <x< ,即 M= ,所以 a+ b≤|a|+ |b|< . (2) 由(1) 得a 2<,b 2<,因为|1-4ab| 2-4 |a-b| 2= (1-8ab+ 16a 2b 2)-4(a 2-2 ab+b 2)= (4a 2- 1)(4 b 2-1)>0, 故|1-4ab| 2>4 |a-b| 2,即|1-4 ab|> 2 |a-b| . a是常数,对任意实数 x,不等式|x+ 1 |-|2 -x|≤a≤|x+ 1 |+| 2 -x|都成立. (1) 求a的值; 专业文档珍贵文档(2) 设 m>n> 0,求证:2 m+ ≥2 n+a . 【解析】(1) 设 f(x) =|x+ 1 |-|2 -x|,则f(x)=∴ f(x)的最大值为 3.∵对任意实数 x, |x+ 1 |-|2 -x|≤ a都成立,即 f(x)≤ a, ∴a≥(x) =|x+ 1 |+| 2 -x|= ∴h(x)的最小值为 3.∵对任意实数 x, |x+ 1 |+| 2 -x|≥a都成立,即h(x)≥a, ∴a≤3.∴a= 3. (2) 由(1) 得a= 3.∵2 m+ -2n= ( m-n )+( m-n )+, 又∵ m>n> 0,∴( m-n )+( m-n )+≥3=3. ∴2 m+ ≥2 n+a . 专业文档珍贵文档[高考冲关]1. (5分)设a,b∈R,给出下列不等式:① lg(1 +a 2)>0;②a 2 +b 2≥2( a-b- 1); ③a 2+3ab> 2b 2;④,其中所有恒成立的不等式序号是. ②【解析】①a= 0时不成立;②∵ a 2 +b 2-2( a-b- 1)=(a-1) 2+(b+ 1) 2≥0,成立;③ a=b= 0时不成