傅立叶级数.doc

第7节 傅立叶级数
三角函数系的正交性
函数系
（)
称为周期为根本三角函数系．
。（7。4）的函数周期都是。
函数系（7。4）具有性质：函数系中任何两个不同函数的乘积在区间［］上的积分等于零，

满足收敛定理条件，是的第一类连续点，（有些题目要求傅立叶级数（的和函数）在某连续点的值）根据定理7。1（ii），在点处，的傅立叶级数收敛于
，
在连续点处收敛于．
计算傅立叶系数如下：
，
　()，
　　　(）．
的傅立叶级数展开式为
．
图7。5是的傅立叶级数的和函数的图形．

假设函数只在上有定义，并且满足收敛定理的条件，仍可以展开成傅立叶级数，做法如下：
（1) 在或外补充函数的定义，使它被拓广成周期为的周期函数（即把的图形逐周期地平移成全部实数定义的),按这种方式拓广函数定义域的过程称为周期延拓．
（2） 将展开成傅立叶级数．
(3） 限制，此时,这样便得到
的傅立叶级数展开式．根据收敛定理,该级数在处收敛于．
【例7。3】　将函数 （)展开成傅立叶级数．
解　.所给函数在上满足收敛定理的条件，将在上以为周期作周期延拓,得到函数
,

其图形为
满足收敛定理的条件,且由于在内处处连续，故它的傅立叶级数在上收敛于，亦即收敛于。
计算傅立叶系数如下
,
由于是奇函数，不难求得。（）,从而得
．
利用这个展开式，我们可以求出几个特殊级数的和．由,得
,
由此得到
．
假设记 ，，
，
因 ,
，
故 ，
又 ,
故 ．
考虑题：
3。 试将函数的幂级数展开和傅立叶级数展开综合地加以比较（包括级数的形式,系数的求法,可展开的条件等）．
3　正弦级数和余弦级数
一般说来，一个函数的傅立叶级数一般既含有正弦项，又含有余弦项．但是，当函数是奇函数时，由于和都是奇函数，故
，,
从而它的傅立叶级数只含有正弦项，称这种级数为的正弦级数：
．
又由于是偶函数,故正弦级数中的系数
．
当函数是偶函数时，由于是奇函数，故
，
从而它的傅立叶级数只含有常数项和余弦项,称这种级数为的余弦级数:
．
又由于是偶函数，故余弦级数中的系数
．
【例7。4】　设是周期为的周期函数,它在上的表达式为，将它展开成傅立叶级数．
解 。首先，所给函数满足收敛定理的条件，它在点
处不连续，因此的傅立叶级数在点收敛于
,
在连续点收敛于，其和函数的图形如图7。7所示。

其次，假设不计，那么是周期为的奇函数．因此,有
,，
,，
故的傅立叶展开式为
．
【例7。5】　将周期函数展开成傅立叶级数，其中是正常数。

解 。所给函数满足收敛定理条件，在整个数轴上连续，因此的傅立叶级数处处收敛于．函数（即它的傅立叶级数的和函数）.
因为是周期为的偶函数,故


当时，,故
．
由于理论和实际问题的需要,我们有时还需要把定义在上的函数展开成正弦级数或余弦级数．根据前面讨论的结果,这类展开问题可以用如下方法处理:
在上补充函数的定义，得到上的新函数，使它在上成为奇函数(或偶函数）：
奇延拓　假设（图7。9） 假设(）




偶延拓（）
．
这种拓广函数定义域的方法称为奇延拓（或偶延拓）．然后将以为周期进展周期延拓，所得函数的傅立叶展开式必为正弦级数（或余弦级数)．再限制在上，此时,这样便得到了的正弦级数（或余弦级数)的展开式．

【】　将分别展开成正弦级数和余弦级数．
解　。对进展奇延拓()，得函数
其傅立叶系数如下：
傅立叶级数为,据收敛定理有:
在处，它收敛于；
在处，它收敛于
;
在内,它收敛于．
故的傅立叶正弦级数展开式为
,
对进展偶延拓（）,可得函数

其傅立叶系数为
,
．
傅立叶级数为，据收敛定理有：
在处，