02第二篇 回归分析与相关分析业题.doc

研究生地理数学方法第二篇回归分析与相关分析 1 第二篇回归分析与相关分析 1 证明题⑴试证①])( 1 ][)( 1[ /)()( ) )(( 2 22 2 22??????????????????? iiii iiiiii iiyn yxn x nyxyxyyxx yyxxR ; ②?????????????? 2 22)()( ) )(( ii iiiii iixxn yxyxnxx yyxxb . ⑵假定bxay??的反函数为 ybax ????。对于观测数据,考虑模型残差,我们有 iiixbay??????,iiiybax?????????. 试证 2??Rbb??。这里 R 为相关系数。⑶对于一元线性回归分析,试证明???????? 2 2) ?(1 1 ) ?( ii iyymn yyF)1(1 1 2 2Rmn R???. ⑷对于一元线性回归分析,试证明 FRmn Rs bt b??????)1(1 1 ? 2 . ⑸我们知道,一元线性方程的回归系数 b 和相关系数 R 可以表作 xx xybS S?, yy xx xyRSS S?, 式中???? ni ixx xx 1 2)(S ,???? ni iyy yy 1 2)(S 分别为 x和y 的校正平方和。要求: ①建立回归系数和相关系数的关系。②证明对于标准化的 x和y 值,必有 bR?。提示:数据标准化的公式为研究生地理数学方法第二篇回归分析与相关分析 2 , *j j ij ijxxx???(mjni,,2,1;,,2,1????) 式中??? ni ijjxn x 11 为第 j 个变量的平均值,而 2/11 2])(1 1[????? ni j ijjxxn ?为基于抽样方差的标准差。⑹以二元线性回归方程 2211xbxbay???, 为例,证明如下问题两个问题,并借助计算结果进行检验。①对于标准化的自变量,建立矩阵 X * ,则?? 22 **)( 1 ??? ij TRXXn C 为自变量 x 1和x 2 的简单相关系数矩阵。②C 的逆矩阵???? ij ijvRC???? 11 的对角线的元素等于方程膨胀因子( VIF )值。③借助第 3 题第( 1 )小题的问题和数据检验这种推导结果。⑺ VIF 计算公式的证明。考虑线性回归方程 2211xbxbay???, 以二元线性回归为例,证明如下问题。①对于标准化的自变量,建立矩阵 X* ,则?? 22 **)( 1 ??? ij TRXXn C 为自变量 x 1和x 2 的简单相关系数矩阵。②C 的逆矩阵???? ij ijvRC???? 11 的对角线的元素等于方程膨胀因子( VIF )值。 2 计算题(一元回归分析) 为了估计山上积雪溶化后对河流下游灌溉的影响,在山上建立观测站,测得连续 10年的观测数据如下表(见下表 1-1 )。表 1-1 研究生地理数学方法第二篇回归分析与相关分析 3 年份最大积雪深度 x(米) 灌溉面积 y( 千亩)x i 2y i 2x iy i 预测值残差 1971 1972 1973 1974 1975 1976 45 .0 1977 1978