奥赛例题及答案—微元法.doc

练****题二:微元法 A1 、如图所示, 一个身高为 h 的人在灯下以均匀速度 v 沿水平直线行走, 设灯距地面高为H ,求证人影的顶端 C 点是做匀速直线运动。解析:该题不能用速度分解求解,考虑采用“微元法”。设某一时间人经过 AB 处,再经过一微小过程△t(△t→0) ,则人由 AB 到达 A′B′,人影顶端 C 点到达 C′点,由于△X AA′=v△t 则人影顶端的移动速度 hH Hv t ShH Ht Sv t C???????????????00 lim lim 可见 v c 与所取时间△t 的长短无关,所以人影的顶端 C 点做匀速直线运动。(本题也可用相似三角形的知识解)。 A 2、如图 14—2 所示, 岸高为 h , 人用绳经滑轮拉船靠岸, 若当绳与水平方向为?时, 收绳速率为?,则该位置船的速率为多大? 解析要求船在该位置的速率即为瞬时速率,需从该时刻起取一小段时间求它的平均速率,当这一小段时间趋于零时,该平均速率就为所求速率. 设船在?角位置经 t?时间向左行驶 x?距离,滑轮右侧的绳长缩短 L?,如图 14—2—甲所示,当绳与水平方向的角度变化很小时, △ ABC 可近似看做是一直角三角形,因而有 L?=? cos x?两边同除以 t?得:? cos t xt L?????,即收绳速率??? cos 船?因此船的速率为??? cos ?船 A3 、如图 2 所示,在绳的 C 端以速度 v 匀速收绳从而拉动低处的物体 M 水平前进, 当绳 AO 段与水平恰成?角时,物体 M 的速度多大? v/(1+cosa) A4 、一只狐狸以不变的速度 1?沿着直线 AB 逃跑,一只猎犬以不变的速率 2?追击,其运动方向始终对准狐狸. 某时刻狐狸在 F 处, MA OvC α图 14—2图 14—2—甲猎犬在 D 处, FD ⊥ AB ,且 FD=L ,如图 14—1 所示,求猎犬的加速度的大小. 解析:猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变, 故猎犬做匀速率曲线运动,根据向心加速度 rr a, 22??为猎犬所在处的曲率半径,因为 r 不断变化,故猎犬的加速度的大小、方向都在不断变化,题目要求猎犬在 D 处的加速度大小,由于 2?大小不变,如果求出 D 点的曲率半径, 此时猎犬的加速度大小也就求得了. 猎犬做匀速率曲线运动,其加速度的大小和方向都在不断改变. 在所求时刻开始的一段很短的时间 t?内,猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧,设其半径为 R ,则加速度?aR 22?其方向与速度方向垂直,如图 14—1—?时间内,设狐狸与猎犬分别到达 DF ??与,猎犬的速度方向转过的角度为?? 2?t?/R 而狐狸跑过的距离是: 1?t?≈L?因而 2?t?/R≈1?t?/L, R=L 2?/1?所以猎犬的加速度大小为?aR 22?=1? 2?/L A5 、电量 Q 均匀分布在半径为 R 的圆环上(如图 3— 14 所示), 求在圆环轴线上距圆心O点为x处的P 点的电场强度. 解析:带电圆环产生的电场不能看做点电荷产生的电场, 故采用微元法,用点电荷形成的电场结合对称性求解. 选电荷元,2R QRq?????它在 P 点产生的电场的场强的 x 分量为: 22 222)(2 cosxR xxRR QRkr qkE x??????????根据对