2015-2016学年吉林东北师大附中高二数学教案：第三章 空间向量与立体几何 3.2~06《立体几何中的向量方法求空间距离》（1）（人教A版选修2-1）.doc

2015-2016学年吉林东北师大附中高二数学教案：第三章 空间向量与立体几何 3.2~06《立体几何中的向量方法求空间距离》（1）（人教A版选修2-1）.doc课题: 立体几何中的向量方法求空间距离(1) 【教学简案】课时: 06 课型:新授课教学目标: 利用向量方法求解空间距离问题, 可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤, 而转化为向量间的计算问题. (1 )点到平面的距离: 1. (一般)传统方法: 利用定义先作出过这个点到平面的垂线段, 再计算这个垂线段的长度; 2 .还可以用等积法求距离; 3 .向量法求点到平面的距离. 在 PAO Rt?中,?? sin |||| sin AP d AP d???又| ||| || sinn AP n AP ???|| ||n n AP d ???( 其中 AP 为斜向量, n 为法向量) 例1 : 如图, 已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、 AD 的中点, GC⊥平面 ABCD , 且 GC=2 ,求点 B 到平面 EFG 的距离. 分析:由题设可知 CG、 CB、 CD 两两互相垂直,,就是求出过 B 且垂直于平面 EFG 的向量,它的长即为点 B 到平面 EFG 的距离. 解:如图,设? CD 4i,? CB 4j,? CG 2k, 以i、j、k 为坐标向量建立空间直角坐标系 C- xyz . 由题设 C(0,0,0) , A(4,4,0) , B(0,4,0) , D(4,0,0) , E(2,4,0) , F(4,2,0) , G(0,0,2) . ∴(2, 0, 0) BE ?????, (4, 2, 0) BF ? ?????, (0, 4, 2) BG ? ??????, (2, 4, 2) GE ? ?????, ?? O P? nA d?? O P? nA d l (2, 2, 0) EF ? ?????. 设 BM ?平面 EFG ,M 为垂足,则 M、G、E、F 四点共面,由共面向量定理知,存在实数 a、b、c ,使得 BM aBE bBF cBG ? ????????????????????( 1) a b c ? ??, ∴(2, 0, 0) (4, 2, 0) (0, 4, 2) BM a b c ? ?????????= (2a+4b, - 2b- 4c,2c) . 由? BM 平面 EFG ,得 BM GE ?, BM EF ?,于是 0 BM GE ? ??????????,0 BM EF ? ??????????. ∴(2 4 , 2 4 , 2 ) (2, 4, 2) 0 (2 4 , 2 4 , 2 ) (2, 2, 0) 0 1 a b b c c a b b c c a b c ? ???????? ???????? ???整理得: ?????????????1 023 05cba cba ca ,解得 15 117 11 3 11 abc ?????????????. ∴ BM = (2a+4b, - 2b- 4c,2c) =) 11 6, 11 2, 11 2( . ∴ 2 2 2 2 2 6 2 11 | | 11 11 11 11 BM ? ?????? ????