第五章中心极限定理.doc

第五章中心极限定理教学要求 . 、伯努里、辛钦大数定律成立的条件及结论理解其直观意义. 3 .掌握棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理和列维—林德伯格叫心极限定理( 独立同分布中心极限定理)的结论和应用条件,并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率. ?本章重点:运用中心极限定理近似计算有关随机事件的概率?教学手段: 讲练结合?课时分配: 4课时本课程一开始引入事件与概率的概念时,我们就知道就一次试验而言,一个随机事件可以出现也可不出现,但作大量的重复试验则呈现出明显的规律性——统计规律性。即,任一事件出现的频率是稳定于某一固定数的,这固定数就是该事件在一次试验下发生的概率,这里说的“频率稳定于概率”实质上是频率依某种收敛意义趋于概率,“大数定律”就是解释这一问题的。另外在前一章介绍正态分布时,我们一再强调正态分布在概率统计中的重要地位和作用,为什么实际上有许多随机现象会遵循正态分布?这仅仅是一些人的经验猜测还是确有理论依据,“中心极限定理”正是讨论这一问题的。§ 随机变量序列的两种收敛性假设??),(, ),( ),( 21?????? n 是定义在同一概率空间( ?,F,P )上的一列随机变量,显然,其中每个 ,)(?? k可以看成是定义在概率空间上的一个有限可测函数,因此,我们可以象在实变函数论中对可测函数列定义收敛性一样,给出随机变量列{)(?? k} 的收敛性概念。以下我们讨论时,总假定 { n?}.?都是定义在同一概率空间( ?,F,P) 上的,对于某样本点?? 0?,显然{)( 0?? n}可视为一普通实数列,)( 0??则可看作一实数,此时若有)()( lim 00??????? nn ,则称随机变量列{ n?} 在点 0?收敛到?。若对任意???,均有)()( lim ??????? nn,则称{ n?}在?上点点收敛到?。但在本章的讨论中,我们没有必要对{ n?}要求这么高,一般是考虑下面给出的收敛形式。定义 设有一列随机变量?,,, 21???,如对任意的?>0,有 0})()(:{ lim??????????? nnP ( ) 则称{ n?}依概率收敛到?,并记作??????? Pnn lim ( ) 或,????? Pn???( ) ( )式也等价于 0}}{ lim ???????? nnP 从定义可见,依概率收敛就是实函中的依测度收敛。我们知道,随机变量的统计规律由它的分布函数完全刻划,当????? Pn 时, 其相应的分布函数)(xF n与)(xF 之间的关系怎样呢? 设??及)1(?n n都服从退化分布: 1}0{ ,2,1,1} 1{????????P nn P n?对任给?> 0,当 n>? 1 时,有 0}{}{?????????? nnPP 所以)(,?????n Pn??而 n?????1 0)(xF nn x n x1 1?????????1 0)(xF0 0?x x?易验证当0?x 时,有)(xF n→)(xF ( n→?) 但时 0?x ,1)0(? nF 不趋于 0)0(?F 上例表明,一个随机变量依概论收敛到某随机变量,相应的分布函数不是在每一点都收敛,但如果仔细观察这个