第六章常微分方程.ppt

第六章常微分方程 yxfy求已知,)(??—不定积分问题 yy求及其若干阶导数的方程已知含, —微分方程问题推广 微分方程的基本概念 一阶微分方程 二阶微分方程 用 Matlab 软件解二阶常系数非齐次微分方程 微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例几何问题物理问题解:设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:xx y2d d?①??xxyd2Cx?? 2 (C为任意常数) 由②得C = 1, .1 2??xy 因此所求曲线方程为 2 1??xy ②由①得例1一曲线通过点(1,2), 且在该曲线上任意点处的切线斜率为 2x,求这曲线的方程。),(yxM例 2 质量为 m 的物体从空中自由下落, s 与时间 t 的函数关系 s(t) 。解; 未知函数 s(t )应满足方程 mg dt sdm? 2 2,即 g dt sd? 2 2两边积分得??? gdt dt dsv 1C gt??再积分一次,得 21 22 1CtC gts???此外,设运动开始时,物体的初始速度和初始 22 1gts?位移为零,得常微分方程偏微分方程 (或微分)(或微分) 的最高阶数叫做微分方程的阶. (本章内容) 微分方程的基本概念分类例如为二阶微分方程 2 2d dt x0 2??xk ,. 微分方程的基本概念特解通解(不含任意常数)分类 . 一阶微分方程 可分离变量的微分方程 一阶线性微分方程 可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程转化两边积分 1d ( ) y g y ?xxfd)(??)(yG)(xF CxFyG??)()( 例3 ( 细菌繁殖模型) 在一个理想的环境中,细胞的繁殖率与细菌的数目成正比,若时细菌的数目为,求系统的细菌繁殖规律。两边积分( ) ( ) dx t kdt x t ?? ? 0?t )0(x ( ) ( ) dx t kx t dt ?解: 设示在时刻细菌数目,依题意有( 0) k?)(txt ln ( ) x t kt C ?? ?( ) kt x t Ce ?即(C为任意常数) 又因, 0)( ?ttx为已知,故特解为( ) k t x t C e ? ????或 0)0(x 例4(自然生长模型) 表示一种生物在时间t时种群总数,开始时种群总数分别表示该总群的出生率和死亡率,实践证明解:在 t到△t 这段时间内种群总数改变量为当时采用可分离变量后,积分得 ny ce r ky ?? tt my tt ny tytty???????)()()()(0??t )()( )()( lim 0tymnt tyttydt dy t?????????)(tyy?mnyy,,)0( 0?, kyrmn???其中 r>0 ,k>0 ,试求该种群的自然生长规律。