1 ?最新考纲解读?,并能正确判断函数的奇偶性. ?,能灵活运用. ?,并能利用函数的周期性解题. ?高考考查命题趋势?函数的奇偶性、周期性常和函数其它性质(如单调性)综合,周期性与三角函数相结合,以客观题型为主, 2008 安徽 9、福建 11、 全国Ⅰ卷11、重庆 12、北京 11. 估计明年仍会以考查奇偶性定义、性质为主. 23 ?一、函数的奇偶性?、偶函数及函数的奇偶性定义: ?对于函数 f(x):①如果对于函数定义域内任意一个自变量 x,都有f(-x)=- f(x),那么函数 f(x)就是奇函数; ②如果对于函数定义域内任意一个自变量 x,都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就是偶函数; ③如果一个函数是奇函数或偶函数,则称这个函数在其定义域内具有奇偶性. 4 ?: ?(1) 观察函数的定义域是否关于原点对称,若不是则函数不具有奇偶性,若是再判断 f(-x)与f(x)的关系. ?(2) 若f(x)=0,则该函数既是奇函数又是偶函数. ?: ?奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y轴对称,反之亦成立. 5 ?二、函数的周期性?: ?对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x取定义域内的每一个值时, f(x+T)=f(x)都成立,那么 f(x)是周期函数, T是函数的一个周期,则 nT (n∈N,n≠0) ?(3) 若函数满足 f(x+a)=- ,同理可得 2a是函数的一个周期; ?(4) 抽象函数的对称问题:若函数满足 f(a+x)= ?f(b-x),则函数关于直线 x=对称. 8 ?三、要点理解?,若一个函数具有奇偶性,则其定义域必关于原点对称,函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件. ?,为了便于判断,有时需要将函数进行化简,或应用定义的变通形式: f(-x)=±f(x)?f(- x)±f(x)=0?=±1,(f(x)≠0).9 ?,有利于解题. ?(1) 两个奇函数的和、差是奇函数,积、商是偶函数; ?(2) 两个偶函数的和、差、积、商都是偶函数; ?(3) 一奇一偶的两个函数的积、商是奇函数; ?(4) 奇函数图象关于原点对称,并且在两个关于原点对称的区间上有相同的单调性; ?(5) 偶函数图象关于 y轴对称,并且在两个关于原点对称的区间上的单调性相反; ?(6) f(x)为偶函数?f(x)=f (|x|); ?(7) 若奇函数 f(x)的定义域含有元素 0,则 f (0) =0. 10
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