高考数学 第15章 几何证明选讲配套文档 理.doc

第十五章系列 4 选考部分第1讲几何证明选讲对应学生用书 P219 考点梳理 1 .平行截割定理(1) 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等, 那么在任一条( 与这组平行线相交的) 直线上截得的线段也相等. (2) 平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交,它们被这组平行线截得的对应线段成比例. 2 .相似三角形的判定与性质(1) 相似三角形的判定定理①两角对应相等的两个三角形相似. ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似; ③三边对应成比例的两个三角形相似; (2) 相似三角形的性质定理①相似三角形的对应线段的比等于相似比. ②相似三角形周长的比等于相似比. ③相似三角形面积的比等于相似比的平方. 3 .直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积, 斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上的射影的乘积. 4 .圆中有关的定理(1) 圆周角定理:圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半. (2) 圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数. (3) 切线的判定与性质定理①切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线. ②切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径. (4) 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,切线长相等. (5) 弦切角定理:弦切角的度数等于其所夹弧的度数的一半. (6) 相交弦定理:圆的两条相交弦,每条弦被交点分成的两条线段长的积相等. (7) 切割线定理从圆外一点引圆的一条割线与一条切线, 切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的等比中项. (8) 圆内接四边形的性质与判定定理①圆内接四边形判定定理 a .如果四边形的对角互补,则此四边形内接于圆; b .如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆. ②圆内接四边形性质定理 a .圆内接四边形的对角互补; b .圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. 【助学· 微博】复****时仍以圆与三角形的综合为主,难度中等. (1) 要掌握好基础知识,如相似三角形的判定与性质定理、圆周角与弦切角定理、圆的内接四边形的判定与性质定理、与圆有关的比例线段,这些定理是进行几何证明的依据. (2) 高考试题多以圆为载体,和三角形、四边形相结合来命题,这类试题往往要综合运用多个定理或添设一定的辅助线才能解决,在解题时要注意总结一些添设辅助线的方法技巧. 考点自测 1. (2009 · 江苏卷) 如图,在四边形 ABCD 中, △ ABC ≌△ BAD . 求证: AB∥ CD. 证明由△ ABC ≌△ BAD ,得∠ ACB =∠ BDA ,故A、B、C、D 四点共圆, 从而∠ CAB =∠ CDB . 再由△ ABC ≌△ BAD ,得∠ CAB =∠ DBA . 因此∠ DBA =∠ CDB ,∴ AB∥ CD. 2. (2012 · 镇江市期末考试) 已知梯形 ABCD 为圆内接四边形, AD∥ BC, 过点 C 作该圆的切线, 交 AD 的延长线于点 E ,求证: △ ABC ∽△ EDC . 证明因为 CE 为圆的切线,所以∠ DCE =∠ DAC . 因为 AD∥ BC ,所以∠ DAC =∠ BCA ,所以∠ DCE =∠ BCA . 因为梯形 ABCD 为圆内接四边形,所以∠ EDC =∠ ABC . 所以△ ABC ∽△ EDC . 3. (2013 · 镇江调研) 如图,圆 O 的直径 AB=4,C 为圆周上的一点, BC=2 ,过点 C 作圆 O 的切线 l, 过点 A作l 的垂线 AD, AD 分别与直线 l、圆O 交于点 D、E,求∠ DAC 的度数与线段 AE 的长. 证明在 Rt△ ABC 中, AB=2 BC ,因此∠ ABC = 60°. 由于直线 l 为过点 C 的切线, ∠ DCA =∠ CBA , 所以∠ DCA = 60°.由 AD⊥ DC ,得∠ DAC = 30°. 则在△ AOE 中, ∠ EAO =∠ DAC +∠ CAB = 60°, OE= OA. 于是 AE= AO= 12 AB= 2. 对应学生用书 P220 考向一相似三角形的判定及性质【例 1】如图, BD、 CE是△ ABC 对应边上的高. 求证: △ ADE ∽△ ABC . 证明∵ BD、 CE是△ ABC 的高, ∴∠ AEC =∠ ADB = 90°. 又∵∠ A=∠A, ∴△ AEC ∽△ ADB ,∴ AD AE = AB AC . 又∵∠ A=∠A, ∴△ ADE ∽△ ABC . [ 方法总结] (1) 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理, 特别要注意对应角和对应边. (2) 相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等;可间接证明线