江苏省高中数学 1.1.1《正弦定理》教案 北师大版必修5.doc

江苏省邳州市第二中学高二数学 《正弦定理》教案北师大版必修 5 情感态度与价值观: 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; 培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力, 通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。●教学过程Ⅰ. 课题导入如图 1. 1-1 ,固定? ABC 的边 CB及? B ,使边 AC 绕着顶点 C 转动。 A 思考: ? C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边 AB 的长度随着其对角? C 的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来? CB Ⅱ. 讲授新课[ 探索研究](图1. 1-1) 在初中, 我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图 1. 1-2 ,在 Rt? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数 的定义, 有 sin aAc ?,sin bBc ?, 又 sin c ? ?, A则 sin sin sin a b c c A B C ? ?? bc 从而在直角三角形 ABC 中, sin sin sin a b c A B C ? ? CaB(图1. 1-2) 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图 1. 1-3 ,当? ABC 是锐角三角形时, 设边 AB 上的高是 CD, 根据任意角三角函数的定义,有 CD= sin sin a B b A ?,则 sin sin a b A B ?,C 同理可得 sin sin c b C B ?,ba 从而 sin sin a b A B ?? AcB(图1. 1-3) 思考: 是否可以用其它方法证明这一等式?由于涉及边长问题, 从而可以考虑用向量来研究这个问题。(证法二) :过点 A作 j AC ??? ????,C 由向量的加法可得 AB AC CB ? ???????????则( ) j AB j AC CB ? ????? ???????????? AB ∴ j AB j AC j CB ? ?????? ?????????????? j ?????? 0 0 cos 90 0 cos 90 ? ?? ?? ???? ????? j AB A j CB C ∴ sin sin ? c A a C ,即 sin sin ? a c A C 同理,过点 C作?? ???? j BC ,可得 sin sin ? b c B C 从而 sin sin a b A B ??类似可推出,当? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。(由学生课后自己推导) 从上面的研探过程,可得以下定