复合函数的性质.doc

复合函数的性质文/董裕华复合函数是函数知识的综合和拓展, 在高中数学教学中已经涉及到许多这方面知识, 在国内外数学竞赛中复合函数问题也频频出现, 但现行中学数学教材中没有作出系统研究. 本文拟讨论形如y=f[g(x)]的复合函数的性质及其应用. 一、基础知识 1 .=f(u),当u ∈ P时,f(u) ∈ Q;u又是x的函数,u=g (x ), 当x ∈ M时,u∈P. 从集合M中每一个给定的x , 通过P中唯一的元素u与集合Q 中唯一的元素y相对应, 则y也是x的函数, 称为这两个函数的复函数, 记为y=f [g(x)]. 其中y=f (u) 叫做复合函数的外函数, u=g (x) 叫做复合函数的内函数, 集合 M 叫做这个复合函数的定义域. 形如f n (f n- 1 (f n- 2(…f 2 (f 1 (x)) …)))的函数叫做多重复合函数,它可以看成是函数u=f n- i(f n- i-1(…f 2(f 1(x))…)) 与y=f n(f n- 1…f n- i+1(u)…) 的复合函数. 2. 单调性. 函数u=g (x) 在集合M上有定义,u∈P; y=f (u) 在P上有定义. 如果g (x)在M 上递增,f(u) 在P上递增(减), 那么f [g(x)] 在M上也递增(减); 如果g (x) 在M上递减,f(u) 在P上递增(减), 那么f [g(x)] 在M上递减(增). 3 .=g(x)为奇函数,y=f(u)为奇(偶)函数,则复合函数y =f [g(x)] 为奇(偶) 函数; 如果u=g (x) 为偶函数, y=f (u) 有意义, 则复合函数y=f[g(x)]必为偶函数. 4 .=g(x)和外函数y=f(u)都分别是其定义域到值域上一一对应的函数,那么复合函数y=f[g(x)]的反函数为y=g -1 [f -1 (x)].证明见文[ 1 ]. 5. =g (x) 是集合R上的周期函数,u∈M;f(u) 在M上有定义, 则复合函数f[g(x)]也是R上的周期函数. 内函数为周期函数, 复合函数必为周期函数; 若外函数为周期函数, 1975 年加拿大第七届中学生数学竞赛第 7 题,问sin(x 2 )是周期函数吗? 回答显然是否定的. 综合复合函数的周期性、单调性、奇偶性,不难发现复合函数还有以下性质: 6. 若内函数u=g(x)的最小正周期为T 0 ,u ∈ D,外函数y=f(u)是D上的单调函数,则复合函数y=f[g(x)]也是最小正周期为T 0 的周期函数. 7. 若函数f (u) 的最小正周期为T 0,g(x) =ax+b (a≠0), 则复合函数f [g (x)]也为周期函数,最小正周期为T 0 /|a|. 8 .若g(x)为奇函数,当f(x)与φ(x)均为偶函数时,复合函数φ(x)=f [g ( x+a )](a≠0) 为周期函数,2 a是它的一个周期; 当f (x)与φ(x) 奇偶性相异时, 复合函数φ(x) =f [g( x+a )](a≠0) 也为周期函数,4 a是它的一个周期. 9 .若g(x)为偶函数,f(x)在R上有定义,当φ(x)为偶函数时,复合函数φ(x ) =f [g( x+a )](a≠0) 为周期函数,2