实变函数期末考试卷A卷.doc

1 实变函数一、判断题(每题 2分,共 20分) 是B 的真子集,则必有 BA?。(×) a 小的基数。(√) E 的聚点必不是 E 的内点。(√) 。(×) ??E ,则0 *?Em 。(×) nRE?都有外测度。(√) ,则它们的外测度相等。(×) 。(×) )(xf 在可测集 E 上可测,则)(xf 在E 的任意子集上也可测。(×) 10.)(xf 在E 上可积必积分存在。(×) 为点集, EP?,则 P 是E 的外点.(×) .(×) ?? nE 是一列可测集,且 1 , 1, 2, , n n E E n ?? ??则 1 ( ) lim ( ). n n nn m E m E ??????(×) .(√) ( ) f x 在E 上可测, 则存在 F ?型集, ( ) 0 F E m E F ? ??, ( ) f x 在F 上连续.(×) 2 二、填空题(每空 2分,共 20分) 是 1R 中无理数集,则?Bc 。 1, 1,,3 1,2 1,1Rn A??????????,则? 0A?,?'A }0{ 。 ?,2,1,0 ),1 1,1 1(?????nnn A n ,则???? nnA 0)1,1(?,???? nnA 1 }0{ 。 。 是]1,0[ 上的 Cantor 集,则? mE 0 。 是闭集, B 是开集,则 BA\ 是闭集。 7. 闭区间],[ba 上的有界函数)(xf Rimann 可积的充要条件是)(xf 是],[ba 上的几乎处处的连续函数。 8. Rimann 函数是 Rimann 可积也是 Lebesgue 可积的。三、计算题(每题 10分,共 20分) xn nx R n???? 10 322 2 1 sin 1 )( lim 。(提示:使用 Lebesgue 控制收敛定理) 解:设 nx xn nx xf n 322 2 1 sin 1 )(??),2,1(??n ,则(1)因)(xf n 在]1,0[ 上连续,所以是可测的; (2)]1,0[,0)( lim ????xxf nn ; 得分阅卷人 3 (3 )因为 x nx nx xn nx nx xn nx2 121 sin 1 2 122 2 1322 2 1?????)(xF?显然)(xF 在]1,0[ 上可积。于是由 Lebesgue 控制收敛定理,有 0 sin 1 )( lim sin 1 )( lim 10 322 2 1 10 322 2 1??????????dxnx xn nx Ldxnx xn nx R n ??????为有理数, 的无理数; 为小于的无理数为大于 x xx xxxf,0 1, ;1,)( 2试计算?]2,0[)(dxxf 。解:因为有理数集的测度为零,所以 2)(xxf?..ea