实数域的非标准构造与超实数域.doc

实数域的非标准构造与超实数域本章主要把实数集 R 进行了扩充并建立了一个非标准分析模型, 它包括无穷小量,无穷大量以及普通实数,构造出了超实数集*R .并对超实数域, 非标准分析和转换原理在数学分析领域进行了证明及应用. N , 应用到有序域. 1. 给出了有序域的的定义和相关性质,即满足交换律,结合律, 存在零元,负元,蕴含等性质,且满足有序域 D 上的运算+,· ,满足关系<. 2. 定义了阿基米德有序域 D ,给出了其性质稠密性及其证明,并用反证法证明完备的有序域是阿基米德的( 例如有理数域是阿基米德有序域) ,相反的有非阿基米德域. 定义:{ F x D x n ? ? ?对于某个} n N ?.若 x F ?,则x 叫做有限的. 若 x D F ? ?,则x 叫做无限的. 定义: { 0 I x D x ? ? ?或(1 ) } x D F ? ?.I 的元素为实数或标准实数, * R R ?的元素是超实数, 按无限小的定义, 在实数中只有 0 是无限小数, 而其它无限小数都是超实数, 这些数比 0 大,比任何实数都小. 3. 定义: 如果, x y D ?且 x y I ? ?, 记为 x y ?. 我们说 x 无限接近 y , 简称 x 接近 y . 也是有限集 F 上的一个等价关系. 4. 构造商环/ F I , 存在一个 F 到/ F I 上的自然同态,以I / F I 也是一个有序域,且是阿基米德的. 二. 在阿基米德有序域 D 的基础上, 根据转换原理,得*D 是一个有序域, 并且 N D ?,有* * N D ?,但*D 上的运算扩张到*D 上,有?是把 D 映入/ F I 中的一个同构,即把 D 嵌入/ F I 中. 同时应用 DEDEKIND 定理可以证明/ F I 是一个完备的有序域. 其中定理 的证明用转换原理,以*U 中的一个“无限小”,逼近来代替 U 中的一个“任意好”的逼近. 如下: 定理 :对于每一个 x D ?, 存在一个* q Q ?,使得 x q ?. 证明:由于 Q 在D 中的稠密性,对于每一 x D ?, 有1 ( )( )( ) n N q Q x q n ??? ????. 由转换原理: 有* * 1 ( )( )( ) n N q Q x q n ??? ????. 令* n N N ? ?,则*L 中,存在一个* q Q ?,使得 1n x q ? ?,即 x q ?.三. 我们把有理数域 Q 用D 表示,D 是同构的嵌入到商环/ F I R?中, 通过 DEDEKIND 分割 Cauchy 序列, 利用转换原理构造出一个有序域, 在同构意义下存在唯一完备的有序域 R , 即实数系 R , 从而扩张构造出非阿基米德有序域*R , 即超实数域. 其中 F 是*R 的有限元之集, I 是*R 的无限小元之集. 从而在非标准全域中,我们有非阿基米德域*R ,并且存在一个由*R