1-上海金融学院.ppt

随机过程教材选择现代外国统计学优秀著作译丛【美】 S. M. Ross 著何声武等译 STOCHASTIC PROCESSES 中国统计出版社 ?第一章基础知识? 概率? 随机变量? 期望? 矩母函数、特征函数及拉普拉斯变换? 条件期望? 指数分布、无记忆性及失效率函数? 极限定理? K= () x 2. 函数 y=f (x) (1)概率(样本)空间(S) 包含所有样本点(基本事件 E)空间(2)三条公理 0 P(E) 1 P(S)=1 E ,E , ……,互不相容即 E ,E = (i j), 有 P( )= 称 P(E) 为事件 E的概率。(可列可加性) ????,R??? 12 ij??U ??1i iE???1)( i iEP (3)四个简单推论如果 E F, 则 P(E) P(F) P(E)=1-P(E), 其中 E是E的补集 P( ) ,当 E 互不相容时 P( ) (布尔不等式) (4)极限事件?????? ni i ni iEPE 1 1)(U iU ??1i iE???? 1)( i iEPU 1n lim 1nn1????????EEEE i inn (递减序列) , ,当 1n lim 1nn1i inn????????EEEE?命题 (概率的连续性)如果是递增或递减的事件序列,则证明:假设是递增序列定义:易证是互不相容事件同理,若是递减序列,则递增}1,{?nE n)1( ,....... , 1 12211?????nn c )( lim )( lim )( lim )( lim )( lim )()(} lim { 111 111 nn ni in ni in ni in ni ini ii inn EPEPFPFPFPFPEPEP ????????????????????????????????? cnE)(1)( lim 1]) [( )](1[ lim )( ) lim ()( lim1 1 1???????????????????????????n nEPEP EP EP EP EPEP)( lim )( 1 nnn nEPEP ???????}1,{?nE n) lim ()( lim nn nnEPEP ?????所以结论得证。命题 波莱尔-坎泰利定理:设为一系列事件, 若,则 P{无穷多个发生}=0 证明:记 P(无穷多个发生)I UI UUU I U ??????????????????????????? 11 3 32 21 1 1 lim ,, sup lim nni in nnn i ii ii i nni innEFF EFEFEF EE0)( lim )( lim )( lim } lim {}{) sup lim ( 1??????????????????????????ni inni in nn nn nni innEPEPFP FPEPEPU I U iE ,......... , 21EE?????1)( i iEP iE 命题 ( 波莱尔-坎泰利引理逆命题) 设为一系列独立事件,使得, 则 p{无穷多个发生}=1 证明: P{无穷多个发生}= 所以, P{无穷多个发生}=1 nE1 lim 1 lim 1 )}(1{ lim 1)( lim 1 }) {( lim 1}) {( lim 1 )} ( lim {)(} sup lim {)()( 1 ??????????????????????????????????????????????????????? ni i i iEpnni Epn ni inni i i in ni innni innee EP EP EP EP EPEPEP????? nE nE ,......... , 21EE ?????1)( n nEP nE二、随机变量 1、随机变量和实数的关系设B代表样本空间内的一个子集,由样本点构成,为随机事件 A代表实数集上的一段区间,则)}({})({})(:{)( 1 1 1 AXPBAXPBAXPBP ??????????????? a. 离散型随机变