5.4节数列与级数.ppt

?数列就是自变量为整数时的函数。 MATLAB 中的元素群运算特别适合于简明地表达数列,可省去其他语言中的循环语句。下面就是一些例子: ? n=1:6; ? 1./n = ?(-1).^n./n = - - - ? 1./n./(n+1) = ?左端的算式表示这个数列产生方法的“通项”,它必须符合元素群运算的规则,所以要充分注意用点乘、点除和点幂。例如(-1).^n 就是产生交项数列符号位的算式,它在 n取偶数时为正,而它在 n取奇数时为负。在某些情况下,当产生数列的运算中包含数组运算时,就不可避免地要用 for 循环。数列用 for 循环的表示方法?比如计算 n!(n的阶乘),它应该写成 prod(1:n), 其中的 n就不能是数组,因为 prod(1:n) 中已用了数组[1:n] 。这时必须用: ? for k=1:6 x(k)=1/prod(1:k); end,x ?得 x = ?在 MATLAB 中数列随 n增加而变化的趋向很容易由计算其数值并作图的方法来解决。但要求数列在 n 趋向∞时的极限时往往要藉助于符号数学,可以从下面的实例看出。【例 5-4-1 】?对下列各题的序列,问: ?(i)。计算并画出其前 25 项,判断它是否收敛。若收敛,极限 L是多少? ?(ii) 。如果序列收敛,找到数 N,使得 n>N 后的 an 都有。如果要离极限 L小于 ,序列该取多长? (1) , (2) , (3) , (4), n a L ? ? nn a n ? 1 n nan ? ?? ?? ?? ? sin n a n ? 1 sin n a n n ? ??? ?? ?解例 的程序解: ◆只要会写通项的表达式,程序是很简单的。用数值计算方法时,四个题可编在一起如下: ?程序 exn541 ? n=1:25; ? a1=n.^(1./n); ? a2=(1+./n).^n; ? a3=sin(n); ? a4=n. * sin(1./n); ? plot(n,a1,n,a2,n,a3,n,a4) ? legend('a1','a2','a3','a4') ? grid 程序 exn541 的运行结果?得到的数列图如右。在计算机屏幕上,四根曲线将用不同的颜色区分和标注,在黑白印刷的书上只好另加字母。可以初步判断,除了 a3 以外, 其他三组数列在 n趋向于∞时都趋向于某极限 L1,L2,L4 。用符号数学求数列的极限?求极限最好用符号数学来解,主要的不同是自变量 n应设为符号变量,所有的函数也要重写一次,使它们也成为符号因变量,最好是在程序开始处用 clear 命令清除掉前面程序在工作空间中生成的同名数值变量。语句如下: ? clear, syms n ? L1= limit(n^(1/n),inf) ?% 为了缩短语句,也可写成两句: ? a1= n^(1/n), ? L1= limit(a1,inf) ? L2= limit((1+./n).^n,inf) ? L4= limit(n. * sin(1./n),inf) ?程序运行后,得到 L1=1, L2=exp(1/2), L4=1 ?无穷数列的累加称为级数,当取其前面若干有限项时,得到的是部分和。将数列 a累加形成的新序列可用 s= cumsum(a )实现,如果 a的长度是 n,则 s的长度也是 n。即每一个 s(k )是数组 a中前 k项的和。注意 cumsum 与 sum 命令的区别,若 ss= sum(a ),得到的是一个数,是序列 s中最后一项 ss= s(n )。因为它是把 a中所有元素加在一起得到的最后结果。? MATLAB 中同样有符号数学的累加命令,要注意它与数值计算的差别,主要是符号数学没有数组累加成数组的命令, 只有求一个求总和的累加命令 symcum 。【例 5-4-2 】?设级数( a),(b), ?试观察它们的部分和序列变化的趋势,如果是收敛的,计算出它们在 n趋向于无穷大时的极限值。解: (1) 。用数值方法计算的程序 exn5