江苏省东海县高考文化补习学校2017届高考一轮复习讲义2.3函数的单调性（教师）.doc

江苏省东海县高考文化补习学校2017届高考一轮复习讲义2.3函数的单调性（教师）.doc第二章函数与基本初等函数Ⅰ 2. 3 1. 单调性的概念如果函数 y=f(x) 对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x 1、x 2,当x 1<x 2 时,①都有, 则称 f(x) 在这个区间上是增函数, 而这个区间称函数的一个;②都有,则称 f(x)在这个区间上是减函数,而这个区间称函数的一个. 若函数 f(x)在整个定义域 I内只有唯一的一个单调区间,则f(x)称为. 2 .判断单调性的方法: (1) 定义法,其步骤为: ①;②;③. (2) 导数法, 若函数 y=f(x) 在定义域内的某个区间上可导,①若,则f(x) 在这个区间上是增函数; ②若,则f(x)在这个区间上是减函数. 基础自测 1 .若函数 f(x)=x 2- 2(1 +a)x+8 在区间(-∞, 4] 上是减函数,则实数 a 的取值范围为________ . [ 解析] 由题意知:函数 f(x)=x 2- 2(1 +a)x+8 的单调减区间为(-∞, (1+a )] ,又函数在(-∞, 4] 上为减函数,所以有 4≤1+a ,解得 a≥ 3. 2 .函数 f(x)= log 2(x 2-4x- 5) 的单调增区间为________ . [ 解析] 由题意知 x 2-4x- 5>0 ,解得 x<-1或x >5 ,即函数 f(x)= log 2(x 2-4x- 5) 的定义域为(- ∞,- 1)∪(5 ,+ ∞) ,根据外函数为单调增函数,而内函数 u=x 2-4x-5=(x- 2) 2-9在(5 ,+ ∞) 上单调递增,所以所求函数的单调增区间为(5 ,+ ∞). 3. 若函数 f(x)= log 2(x 2- ax+3a) 在区间[2 ,+ ∞) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是________ . [ 解析]令g(x)=x 2- ax+3a ,由题知 g(x)在[2 ,+ ∞) 上是增函数,且 g (2)>0. ∴ a2 ≤2, 4-2a+3a >0 , ∴- 4< a≤ 4. 4. 若函数 y= lnx- ax 的增区间为(0,1) ,则 a 的值是________ . [ 解析] 由条件可知, y′= 1x -a >0 的解集为(0,1) ,可知 a= 1. 5 .证明: f(x)=x+ 1x 在(-∞,- 1) 上是增函数. [ 证明]设x 1,x 2是(-∞,- 1) 内的任意两个不相等的负实数,且 x 1<x 2 ,则Δx=x 2-x 1 >0 , Δy=f(x 2)-f(x 1)= (x 2-x 1 )(x 1x 2- 1) x 1x 2, ∵x 1<x 2<-1,∴x 1x 2 >1>0. ∴x 1x 2- 1>0 ,∴Δy=f(x 2)-f(x 1 )>0. 所以 f(x)=x+ 1x 在(-∞,- 1) 上是增函数. f(x )=log a (3x 2 -2ax)在区间[ 12 ,1] 上是减函数,求实数 a的取值范围. 解:当0< a <1时,若f(x )=log a (3x 2 -2ax)在区间[ 12 ,1] 上是减函数,则 a3 ? 123?( 12 ) 2 -2a? 12 >0 ,解得 0< a< 34 . 当a >1时,若f(x )=log a (3