理论力学第十八章拉格朗日方程教学.ppt

拉格朗日方程目录动力学普遍方程拉格郎日方程拉格郎日方程应用举例动力学普遍方程动力学普遍方程对于这些函数进行一定的运算,就可了解系统的运动特性和获得系统的运动方程,所以动力学普遍方程和拉格朗日方程式求解质点系复杂动力学问题的普遍而有效的方法。动力学普遍方程和拉格朗日方程是分析动力学的内容。分析动力学是把系统作为一个整体来考察, 并利用动能、势能这类标量函数来描述这个系统。动力学普遍方程一、概述动力学普遍方程是将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合而得到的, 可以看成是达朗贝尔原理的解析表达形式。二、动力学普遍方程的推导设一质点系由 n 个质点组成,作用在第 i 个质点上的主动力为 F i, 约束力为 F Ni,则根据牛顿第二定理 F= ma 有 iiiim NFFa??),,2,1(ni?令 ii *imaF??称为惯性力,则有 0 *N N?????? iiiiiiimFFFaFF ),,2,1(ni?上面式子表示一组平衡关系,即在每一瞬时,作用在质点系内每一质点上的主动力 F i ,约束力为 F Ni, 以及假想的惯性力 F* i 在形式上构成平衡力系。动力学普遍方程将虚位移原理应用于这组平衡力系,为此,取质点系的任一组虚位移δr i(i=1,2, …, n),则有 0δ)( *N???? iiiirFFF ),,2,1(ni?对质点系全部质点的上述表达式求和,得 0)δ()δ()δ( 1 * 1 N 1???????????? ni ii ni ii ni iirFrFrF 设该质点系所受的约束为理想约束,则 0)δ( 1 N???? ni iirF 代入上式可得 0δ)( *1????? ii ni irFF 0 *N N?????? iiiiiiimFFFaFF ),,2,1(ni?式称为惯性力。上式表明: 在理想约束下,质点系在任一瞬时,作用的主动力和假想的惯性力在任何虚位移上所做的虚功之和等于零。取固定直角坐标系,将上式投影得: 0]δ)(δ)(δ) [( 1???????? i * iz izi * iy iyi * ix ni ixzFFyFFxFF以上二式称为动力学普遍方程或达朗贝尔——拉格朗日方程。?? 0δ 1????? i ni iiiramF???????? 0δδδ 1???????? ni iii iziii iyiii ixzzmFyymFxxmF ?????? 0δ)( *1????? ii ni irFF ii *imaF??),2,1(,ni??动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程消去了所有理想约束的约束反力,因而特别适合于求解非自由质点系的动力学问题。应用动力学普遍方程求解动力学问题与用虚位移原理求解静力学问题的方法基本相同,只要在系统上虚加惯性力,并将惯性力视为主动力即可。由动力学普遍方程可得到若干个独立的二阶微分方程,方程的个数等于质点系的自由个数。因此,动力学普遍方程给出了任意多个自由度系统的全部运动微分方程,任何其它动力学方程都可作为它的特殊情况推导出来。动力学普遍方程-例题 1 OC dd BA ααω一瓦特调速器的结构如图所示。每一飞球质量为 m 1,重锤质量为 m 2, 各铰连杆的长度为 l,T 形杆宽度为 2d。调速器的轴以匀角速ω转动。求飞球张开的角度α。?动力学普遍方程-例题 1