基于微分方程模型.ppt

当我们描述实际对象的某些特性随着时间(空间) 当我们描述实际对象的某些特性随着时间(空间) 而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来形而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来形态、研究它的控制手段时,通常要建立对象的动态模态、研究它的控制手段时,通常要建立对象的动态模型。型。在许多实际问题中,当直接导出变量之间的函数关在许多实际问题中,当直接导出变量之间的函数关系较为困难,但导出包含未知函数的导数或微分的关系较为困难,但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时,可用建立系式较为容易时,可用建立微分方程模型微分方程模型的方法来研的方法来研究该问题。究该问题。我们来建立如下的一些问题的模型: 我们来建立如下的一些问题的模型: 我们通过一些最简单的实例来说明微分方程建我们通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。在连续变量问题的研究中,微分方模的一般方法。在连续变量问题的研究中,微分方程是十分常用的数学工具之一。程是十分常用的数学工具之一。 2 2、、 Malthus Malthus 模型模型 3 3、、 Logistic Logistic 模型模型 1 1、、 Lanchester Lanchester 作战模型作战模型一问题的背景第一次世界大战期间,战争给人们带来了许多灾难。一场战争的结局怎样,是人们关心的问题,同样也引起了数学家们的注意,能用数量关系来预测战争的胜负吗? 首先提出了一些预测战争结局的数学模型, 后来人们对这些模型作了改进和进一步的解释,用以分析历史上一些著名的战争,如二次世界大战中的美日硫黄岛之战和1975 年结束的越南战争。 Lanchester 作战模型虽然比较简单,对局部战争还是有参考价值,为研究社会科学领域中的实际问题提供了借鉴的示例。兰彻斯特( Lanchester )作战模型问题: 问题: 两军对阵,现甲军有两军对阵,现甲军有个士兵,乙军有个士兵,乙军有个士兵,试讨论战斗过程中双方的伤亡情况以及最个士兵,试讨论战斗过程中双方的伤亡情况以及最后的结局。后的结局。 0x 0y 分析: 分析: 1) 1)影响战争的因素: 影响战争的因素: 兵员的多少,武器的配备,指挥员的艺术,地理兵员的多少,武器的配备,指挥员的艺术,地理位置的优劣,士气的高低,兵员素质的高低,后勤位置的优劣,士气的高低,兵员素质的高低,后勤供应充分与否等。供应充分与否等。 2) 2)抓主要矛盾抓主要矛盾: : 兵员的多少,武器的配备,指挥员的艺术。若武兵员的多少,武器的配备,指挥员的艺术。若武器配备与指挥员水平相当,则重中之重便是兵员多器配备与指挥员水平相当,则重中之重便是兵员多少的问题。少的问题。假设: 假设: 1) 1)甲、乙双方的战斗力完全取决于两军的人数。甲、乙双方的战斗力完全取决于两军的人数。设设时刻时刻甲、乙双方的人数分别为: 甲、乙双方的人数分别为: t)( ),(tytx 0 0)0(,)0(0yyxxt???时, 假设: 2) 甲、乙双方人员的变化主要是战斗减员、非战斗减员和增援部队。以甲方为例,设分别表示非战斗减员率、战斗减员率和增援率。则有 3) 假设)( ),,( ),,(tyxyx???)( )),(),((tyxyx dt dx???????与作战形式有关。),(,),(yx ax yx???正规战争模型双方均以正规部队作战混合战争模型甲军为游击部队,乙军为正规部队游击战争模型双方都用游击部队作战令表示 t 时刻甲军人数, )(tx表示 t 时刻乙军人数。)(ty在以上假设下,显然甲军人数越多,乙军伤亡越大,反之亦然。甲军人数的减员率与乙军人数成正比; 乙军人数的减员率与甲军人数成正比。正规战争模型?甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均以正规部队作战所以正规战争模型为其中均为常数, 0,0??ba )1()0(,)0( 0 0???????????????yyxx bx dt dy ay dt dx ?忽略非战斗减员?假设没有增援令表示 t 时刻甲军人数, )(tx表示 t 时刻乙军人数。)(ty