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高等代数§5.3唯一性.ppt


文档分类:高等教育 | 页数:约25页 举报非法文档有奖
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一、一、复数域上的二次型的规范形复数域上的二次型的规范形二二、实数域上的二次型的规范形、实数域上的二次型的规范形三、三、小结小结§ § 唯一性唯一性问题的产生: 问题的产生: 1、二次型的标准形不是唯一的,:二次型 1 2 3 1 2 2 3 1 2 ( , , ) 2 6 2 f x x x x x x x x x ? ??作非退化线性替换 1 1 2 1 3 3 1 1 3 1 1 1 0 0 1 x y x y x y ? ? ??? ?? ? ??? ??? ?? ?? ? ??? ?? ? ??得标准形 2 2 2 1 2 3 1 2 3 ( , , ) 2 2 6 f x x x y y y ? ??得标准形 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 ( , , ) 2 2 3 f x x x z z z ? ?? 1 1 2 1 3 3 1 1 2 1 1 1 2 1 3 0 0 1 3 x z x z x z ? ? ??? ?? ? ??? ?? ?? ?? ? ??? ?? ? ?? 2、二次型经过非退化线性替换所得的标准形中, 系数不为零的平方项的个数是唯一确定的,与所作的非退化线性替换无关. ( ) ( ' ) ( ) 秩秩秩 D C AC A ? ?而秩(D) 等于 D 的主对角线上不为零的元素的个数. ∵若作非退化线性替换 1 ( , , ) ' n f x x X AX ??' , D C AC ?化为标准形,则有 X CY ?' Y DY : 如何在一般数域 P上,进一步“规范”平方项非零系数的形式?(这样产生了唯一性的问题) 定义二次型的秩等于矩阵 A的秩, 即秩 f=秩(A). 1 2 ( , , , ) ' n f x x x X AX ?? 1 1、复数域上的二次型的规范、复数域上的二次型的规范形形 1. 2 2 1 1 ( ) '( ' ) r r f X Y C AC Y d y d y ? ????设复二次型( ) ' , ' C n n f X X AX A A ?? ??经过非退化线性替换可逆, 得, C n n X CY C ?? ?这里 0, 1 , 2 , i d i r ? ?? r f A ? ?秩秩(). 则称之为复二次型( ) f X 的规范形. 1 1 1 ( , , , 1 , , 1) r D diag d d ?? ? 1 1 1 1 1 11 r r r r r n n y z d y z d y z y z ? ??????????????????, 或 Y = D Z , 2 2 2 1 2 ( ) '( ' ' ) r f X Z D C ACD Z z z z ? ?????注意注意: : ①复二次型的规范形中平方项的系数只有 1和0两种. ②复二次型的规范形是唯一的,由秩 f 确定. 2. 2.(定理(定理 3 3) )任一复二次型经过适当的非退化任一复二次型经过适当的非退化线

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