上海交大杜秀华老师《现代控制理论》第五章2.doc

[例 ]考虑如下线性定常系统 Bu Ax x???式中?????????????????????????1 0 0,651 100 010BA 利用状态反馈控制 Kx u??,希望该系统的闭环极点为s=-2±j4和s=-10 。试确定状态反馈增益矩阵 K。首先需检验该系统的能控性矩阵。由于能控性矩阵为:??????????????31 61 610 100][ 2BA AB BQ??所以得出 det Q=-1,因此, rank Q=3。因而该系统是状态完全能控的,可任意配置极点。下面,我们来求解这个问题,并用本章介绍的 3种方法中的每一种求解。方法 1:第一种方法是利用式( )。该系统的特征方程为: 0 156 651 10 01|| 01 22 3 23????????????????????????asasas sss s s sA sI 因此 1,5,6 012???aaa期望的特征方程为 0 200 60 14 ) 10 )(42 )(42( *0 *1 2*2 3 23??????????????asasas ssssjsjs因此 200 a 60 a 14 a 012???***,,参照式( ),可得]855 199 [ ]614 560 1200 [???????K 方法 2:设期望的状态反馈增益矩阵为][ 321kkkK?并使|| BK A sI??和期望的特征多项式相等,可得???????????????????????????651 100 01000 00 00||s s s BK A sI ?? 321[1 0 0kkk???????????200 60 14 1)5()6( 651 10 01 23 12 23 3 321??????????????????sss ksksks kskk s s因此200 1,60 5,14 6 123??????kkk 从中可得 8,55 ,199 321???kkk 或]855 199 [?K 方法 3:第三种方法是利用爱克曼公式。参见式( ),可得)(] ][100[ *12ABA AB BK?????由于 IAAAA200 60 14 )( 23*???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 117 43 7 7 159 8 8 55 199 100 010 001 200 651 100 010 60 651 100 010 14 651 100 010 2 3且?????????????31 61 610 100][ 2BA AB B??可得]855 199 [ 117 43 7 7159 8 855 199 001 016 165]100[ 117 43 7 7159 8 855 199 31 61 610 100]100[ 1????????????????????????????????????????????????????K 显然,这 3种方法所得到的反馈增益矩阵 K是相同的。使用状态反馈方法,正如所期望的那样,可将闭环极点配置在 s=-2±j4和s=-10 处。应当注意,如果系统的阶次 n等于或大于 4,则推荐使用方法 1和3,因为所有的矩阵计算都可由计算机实现。如果使用方法 2,由于计算机不能处理含有未知参数 nkkk,,, 21?的特征方程,因此必须进行手工计算。 . 6 注释对于一个给定的系统,矩阵 K不是唯一的,而是依赖于选择期望闭环极点的位置(这决定了响应速度与阻尼),这一点很重要。注意,所期望的闭环极点或所期望状态方程的选择是在误差向量的快速性和干扰、测量噪声的灵敏性之间的一种折衷。也就是说,如果加快误差响应速度,则干扰和测量噪声的影响通常也随之增大。如果系统是 2阶的,那么系统的动态特性(响应特性)正好与系统期望的闭环极点和零点的位置联系起来。对于更高阶的系统,期望的闭环极点位置不能和系统的动态特性(响应特性)联系起来。因此,在决定给定系统的状态反馈增益矩阵 K时,最好通过计算机仿真来检验系统在几种不同矩阵(基于几种不同的期望特征方程)下的响应特性,并且选出使系统总体性能最好的矩阵 K。 利用极点配置法设计调节器型系统考虑如图 所示的倒立摆系统。图中,倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在平面内运动的二维问题。,保持摆垂直。当以合适的控制力施加于小车时,可将该倾斜的摆返回到垂直位置,且在每一控制过程结束时,小车都将返回到参考位置θ=0。设计一个控制系统,使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时,用合理的阻尼(如对主导闭环极点有ζ= ),可