初中几何综合之图形证明题(教师用)机械基础.doc

几何综合之图形证明题 1、( 2013 年潍坊市) 如图,四边形是平行四边形,以对角线为直径作⊙,分别于、相交于点、. (1 )求证四边形为矩形.(2 )若试判断直线与⊙的位置关系,并说明理由. 答案: 考点:平行四边形的性质,矩形的判定, ,相似三角形的判定, 直径对的圆周角是直角,圆的切线的判定等知识的综合运用. 点评: 关键是掌握矩形的判定方法,三角形相似的判定方法,圆的切线的判定方法. 2、( 2013 陕西压轴题) 问题探究(1)请在图①中作出两条直线,使它们将圆面四等分; (2)如图②,M是正方形 ABCD 内一定点,请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点 M),使它们将正方形 ABCD 的面积四等分,并说明理由. 问题解决(3)如图③,在四边形 ABCD 中, AB∥CD,AB+CD=BC ,点 P是AD的中点,如果 AB= ,CD= ,且,那么在边 BC上是否存在一点 Q,使PQ所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分?若存在,求出 BQ的长;若不存在,说明理由. 图①图② ABC DMB图③ AC D P (第 25 题图) 考点:本题陕西近年来考查的有: 折叠问题,勾股定理,矩形性质,正方形的性质,面积问题及最值问题,位似的性质应用等。此题考查对图形的面积等分问题。解析: 此题主要考查学生的阅读问题的能力, 综合问题的能力, 动手操作能力, 问题的转化能力, 分析图形能力和知识的迁徙能力, 从特殊图形到一般的过渡, 从特殊中发现关系到一般的知识迁移的过程。( 1 )问较易解决,圆内两条互相垂直的直径即达到目的。( 2) 问中其实在八年级学****四边形时好可解决此类问题。平行四边形过对角线的交点的直线将平行四边形分成面积相等的两个部分。而在正方形中就更特殊, 常见的是将正方形重叠在一起旋转的过程中的图形的面积不变的考查,此题有这些知识的积累足够解决。( 3 )问中可以考虑构造( 1)( 2 )中出现的特殊四边形来解决。也可以用中点的性质来解决。在中学数学中中点就有两个方面的应用,一是中线(倍长中线构造全等三角形或者是平行四边形)二是中位线的应用。解:( 1 )如图①所示. ( 2) 如图②,连接 AC 、 BD 相交于点 O ,作直线 OM 分别交 AD 、 BC 于 P、 Q 两点,过点 O 作用 OM 的垂线分别交 AB 、 CD 于 E、 F 两点,则直线 OM 、 EF 将正方形 ABCD 的面积四等分. 理由如下: 答图② ABC DM (第 25 题答案图) 答图① O PQ FE ∵点 O 是正方形 ABCD 对角线的交点, ∴点 O 是正方形 ABCD 的对称中心∴ AP=CQ , EB=DF , D在△ AOP 和△ EOB 中, ∵∠ AOP=90 °-∠ AOE ,∠ BOE=90 °-∠ AOE ∴∠ AOP= ∠ BOE ∵ OA=OB , ∠ OAP= ∠ EBO=45 °∴△ AOP ≌△ EOB ∴ AP=BE=DF=CQ ∴ AE=BQ=CF=PD 设点 O 到正方形 ABCD 一边的距离为. ∴∴∴直线 EF 、 PQ 将正方形 ABCD 面积四等分另解: ∵点 O 是正方形 ABCD 对角线的交点, ∴点 O 是正方形 ABCD 的中心∴ OA=OB=OC=OD ∠ OAP= ∠