【创新设计】（全国通用）2016高考数学二轮复习 专题一 第5讲 导数与不等式、存在性及恒成立问题.doc

【创新设计】（全国通用）2016高考数学二轮复习 专题一 第5讲 导数与不等式、存在性及恒成立问题.doc1 第5讲导数与不等式、存在性及恒成立问题一、选择题 1. 已知函数 f(x)= 13 x 3-2x 2+3m,x∈[0 ,+ ∞) ,若 f(x)+5≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围是() A. 179 ,+ ∞ B. 179 ,+ ∞ C.( -∞, 2] D.( -∞, 2) 解析 f′(x)=x 2-4x ,由 f′(x)>0 ,得 x>4或x< 0. ∴f(x)在(0, 4) 上单调递减,在(4 ,+ ∞) 上单调递增, ∴当x∈[0 ,+ ∞) 时, f(x) min= f (4). ∴要使 f(x)+5≥0 恒成立,只需 f (4) +5≥0 恒成立即可,代入解之得 m≥ 179 . 答案 A 2. 若存在正数 x使2 x(x-a)<1 成立,则 a 的取值范围是() A.( -∞,+ ∞) B.( -2 ,+ ∞) C.(0 ,+ ∞) D.( -1 ,+ ∞) 解析∵2 x(x-a)<1,∴a>x- 12 x. 令f(x)=x- 12 x, ∴f′(x)=1+2 -x ln2> 0. ∴f(x)在(0 ,+ ∞) 上单调递增, ∴f(x)>f (0) =0-1 =- 1, ∴a 的取值范围为(-1 ,+ ∞) ,故选 D. 答案 D 3.(2015 · 合肥模拟)当x∈[-2, 1] 时,不等式 ax 3-x 2+4x+3≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是() A.[ -5 ,- 3] B. -6 ,- 98 C.[ -6 ,- 2] D.[ -4 ,- 3] 解析当x∈(0, 1]时,得a≥-3 1x 3-4 1x 2+ 1x ,令t= 1x ,则t∈[1,+∞),a≥-3t 3 -4t 2+t ,令 g(t) =- 3t 3-4t 2+t,t∈[1 ,+ ∞) ,则 g′(t) =- 9t 2-8t+1 =- (t+ 2 1)· (9t- 1), 显然在[1,+∞)上,g′(t)<0,g(t) 单调递减, 所以 g(t) max=g (1) =- 6, 因此 a≥-6 ;同理,当 x∈[-2, 0) 时,得 a≤- 2. 由以上两种情况得- 6≤a≤-2 ,显然当 x=0 时也成立. 故实数 a 的取值范围为[-6 ,- 2]. 答案 C 4.(2015 · 全国Ⅱ卷) 设函数 f′(x) 是奇函数 f(x )(x∈R) 的导函数, f(- 1)=0 ,当 x >0时, xf′(x)-f(x)<0 ,则使得 f(x )>0 成立的 x 的取值范围是() A.( -∞,- 1)∪(0, 1) B.( -1, 0)∪(1 ,+ ∞) C.( -∞,- 1)∪(-1, 0) D.(0 , 1)∪(1 ,+ ∞) 解析因为 f(x )(x∈R) 为奇函数, f(- 1)=0 ,所以 f (1) =- f(- 1)= ≠0 时, 令 g(x)= f(x) x ,则g(x) 为偶函数,且g (1) =g(- 1)= 0. 则当 x>0时,g′(x)= f(x) x′= xf′(x )- f(x) x 2<0,故g(x)在(0,+∞) 上为减函数,在(-∞, 0) (0 ,+ ∞) 上,当 0<x<1 时, g(x)>g (1) =0? f(x) x >0?f(x)>0 ;在(-∞, 0) 上,当 x <-