【步步高】（全国通用）2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题10 第46练 分类讨论思想 理.doc

【步步高】（全国通用）2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题10 第46练 分类讨论思想 理.doc1 第 46练分类讨论思想[ 思想方法解读] 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法,其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解( 或分割) 成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略. 1. 中学数学中可能引起分类讨论的因素: (1) 由数学概念而引起的分类讨论: 如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2) 由数学运算要求而引起的分类讨论: 如除法运算中除数不为零, 偶次方根为非负数, 对数运算中真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式中两边同乘以一个正数、负数, 三角函数的定义域,等比数列{a n} 的前 n 项和公式等. (3) 由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论:如函数的单调性、基本不等式等. (4) 由图形的不确定性而引起的分类讨论: 如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等. (5) 由参数的变化而引起的分类讨论: 如某些含有参数的问题, 由于参数的取值不同会导致所得的结果不同,或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等. 2. 进行分类讨论要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复, 科学地划分,分清主次,不越级讨论. 其中最重要的一条是“不重不漏”. 3. 解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围; 其次确定分类标准, 正确进行合理分类, 即标准统一、不重不漏、分类互斥( 没有重复); 再对所分类逐步进行讨论, 分级进行, 获取阶段性结果; 最后进行归纳小结, 综合得出结论. 常考题型精析题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论例1 设集合 A={x∈R|x 2+4x= 0},B={x∈R|x 2+ 2(a+ 1)x+a 2-1=0,a∈R} ,若 B?A, 求实数 a 的取值范围. 2 点评对概念、公式、法则的内含及应用条件的准确把握是解题关键,在本题中, B?A ,包括B=?和B≠?两种情况. 解答时就应分两种情况讨论,在关于指数、对数的运算中,底数的取值范围是进行讨论时首先要考虑的因素. 变式训练 1 若函数 f(x)=a x(a >0,a≠ 1)在[- 1,2] 上的最大值为 4 ,最小值为 m ,且函数 g(x)= (1-4m)x在[0 ,+ ∞) 上是增函数,则 a= ________. 题型二分类讨论在含参函数中的应用例2 已知函数 f(x) =- x 2+2 ax+1-a在x∈[0,1] 上有最大值 2 ,求 a 的值. 点评本题中函数的定义域是确定的,二次函数的对称轴是不确定的,二次函数的最值问题与对称轴息息相关,因此需要对对称轴进行讨论,分对称轴在区间内和对称轴在区间外,从而确定函数在给定区间上的单调性,即可表示函数的最大值,从而求出 a 的值. 3 变式训练 2 (2015 · 江苏) 已知函数 f(x)=x 3+ ax 2+b(a,b∈R ). (1) 试讨论 f(x) 的单调性; (2) 若b=c-a( 实数 c 是与 a 无关的常数), 当函数 f(x) 有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是(-∞,- 3)∪ 1, 32∪ 32 ,+ ∞,求 c 的值. 4 题型三根据图形位置或形状分类讨论例3 在约束条件 x≥0, y≥0, y+x≤s, y+2x≤4 下,当 3≤s≤5 时, z=3x+2y 的最大值的变化范围是() A.[6,15] B.[7,15] C.[6,8] D.[7,8] 点评几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1) 二次函数对称轴的变化; (2) 函数问题中区间的变化; (3) 函数图象形状的变化; (4) 直线由斜率引起的位置变化; (5) 圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化; (6) 立体几何中点、线、面的位置变化等. 变式训练 3设F 1、F 2 为椭圆 x 29 + y 24 =1 的两个焦点, P 为椭圆上一点,已知 P、F 1、F 2 是一个直角三角形的三个顶点,且| PF 1|> | PF 2| ,求| PF 1|| PF 2| 的值. 高考题型精练 5 1. 对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x- 1)f′(x)≥0 ,则必有() (0) +f (2)<2 f (1) (0) +f (2) ≤2f (1) (0) +f (2) ≥2f (1) (0) +f (2)>2 f (1) 2. 已知数列{a n} 的前 n 项和 S n=p n- 1(p 是常数) ,则数列{a n}是() A. 等差数列 B. 等比数列 C. 等差数列或等比数列 D. 以上都不对 3. 已知变量 x,y 满足的不等式组 x≥0, y≥2x, kx-y+1