【步步高】（全国通用）2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题10 第47练 转化与化归思想 理.doc

【步步高】（全国通用）2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题10 第47练 转化与化归思想 理.doc1 第 47练转化与化归思想[ 思想方法解读] 转化与化归思想,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化, 进而使问题得到解决的一种数学方法. 一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据,如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等,消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想,我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化, 在复****过程中应注意相近主干知识之间的互化, 注重知识的综合性. 转化与化归思想的原则(1) 熟悉已知化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,将未知的问题转化为已知的问题,以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决. (2) 简单化原则: 将复杂问题化归为简单问题, 通过对简单问题的解决, 达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据. (3) 和谐统一原则: 转化问题的条件或结论, 使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式;或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律. (4) 正难则反原则: 当问题正面讨论遇到困难时, 应想到问题的反面, 设法从问题的反面去探讨,使问题获得解决. 常考题型精析题型一正难则反的转化例1 已知集合 A={x∈R|x 2-4 mx+2m+6= 0},B={x∈R|x <0} ,若A∩B≠?, 求实数 m的取值范围. 点评本题中, A∩B≠?,所以 A 是方程 x 2-4 mx+2m+6=0①的实数解组成的非空集合,并 2 且方程①的根有三种情况: (1) 两负根; (2) 一负根和一零根; (3) 一负根和一正根. 分别求解比较麻烦, 我们可以从问题的反面考虑, 采取“正难则反”的解题策略, 即先由Δ≥0, 求出全集 U ,然后求①的两根均为非负时 m 的取值范围,最后利用“补集思想”求解,这就是正难则反这种转化思想的应用,也称为“补集思想”. 变式训练 1 若对于任意 t∈[1,2] , 函数 g(x)=x 3+ m2 +2x 2-2x 在区间( t, 3) 上总不为单调函数,则实数 m 的取值范围是__________. 题型二函数、方程、不等式之间的转化例2 已知函数 f(x)= 13 x 3+ a2 - 43x 2+ 43 - 23 ax (0< a <1,x∈R ). 若对于任意的三个实数 x 1, x 2,x 3∈[1,2] ,都有 f(x 1)+f(x 2 )>f(x 3) 恒成立,求实数 a 的取值范围. 点评解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助, 因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般可将不等关系转化为最值( 值域) 问题, 变式训练 2 (2015 · 课标全国Ⅰ) 设函数 f(x)=e 2x-a lnx. (1) 讨论 f(x) 的导函数 f′(x) 零点的个数; (2) 证明:当 a >0 时, f(x)≥2a+a ln 2a . 题型三主与次的转化例3 已知函数 f(x)=x 3+3 ax-1,g(x)=f′(x)- ax-5, 其中 f′(x)是f(x) - 1≤a≤1 的一切 a 的值,都有 g(x )<0 ,则实数 x 的取值范围为________. 点评主与次的转化法合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在,通过变换主元,起到了化繁为简的作用. 在不等式中出现两个字母: x及a ,关键在于该把哪个字母看成变量,哪个看成常数. 显然可将 a 视作自变量, 则上述问题即可转化为在[- 1,1] 内关于 a 的一次函数小于 0 恒成立的问题. 4 变式训练3设f(x) 是定义在R 上的单调递增函数,若f (1- ax-x 2)≤f (2-a) 对任意a∈[- 1,1] 恒成立,则 x 的取值范围为______________. 题型四以换元为手段的转化与化归例4 是否存在实数 a, 使得函数 y= sin 2x+a cos x+ 58 a- 32 在闭区间[0, π2 ] 上的最大值是 1? 若存在,则求出对应的 a 的值;若不存在,则说明理由. 点评换元有整体代换、特值代换、三角换元等情况. 本题是关于三角函数最值的存在性问题,通过换元,设 cos x=t ,转化为关于 t 的二次函数问题,把三角函数的最值问题转化为二次函数 y =- (t- a2 ) 2+ a 24 + 58 a- 12 ,0≤t≤1 的最值问题,然后分类讨论解决问题. 变式训练 4 若关于 x 的方程