【步步高】（全国通用）2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 第二篇 第3讲 概率与统计 理.doc

【步步高】（全国通用）2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 第二篇 第3讲 概率与统计 理.doc1 第3讲概率与统计离散型随机变量分布列及均值、方差的综合问题例题(12 分) 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站. 过去 50 年的水文资料显示,水库年入.. 流量 X( 年入流量:一年内上游来水与库区降水之和. 单位:亿立方米) 都在 40 以上. 其中, 不足 80 的年份有 10年, 不低于 80 且不超过 120 的年份有 35年, 超过 120 的年份有 5年, 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的频率, 并假设各年的入流量相互独立. (1) 求未来 4 年中,至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率; (2) 水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制, 并有如下关系: 年入流量 X 40< X <80 80≤X≤ 120 X >120 发电机最多可运行台数 123 若某台发电机运行,则该台年利润为 5 000 万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元. 欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台? 规范解答解(1) 依题意,得 p 1=P (40< X <80) = 10 50 = , p 2=P (80 ≤X≤ 120) = 35 50 = , p 3=P(X >120) = 5 50 = .[3 分] 由二项分布,在未来 4 年中,至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 p=C 04 (1-p 3) 4+C 14 (1-p 3) 3p 3=( 9 10 ) 4+4×( 9 10 ) 3× 1 10 = 7.[6 分] (2) 记水电站年总利润为 Y( 单位:万元). ①安装 1 台发电机的情形. 由于水库年入流量总大于 40 ,故一台发电机运行的概率为 1 ,对应的年利润 Y=5 000 ,E(Y) =5 000 ×1=5 000.[7 分] ②安装 2 台发电机的情形. 依题意,当 40< X <80 时,一台发电机运行,此时 Y=5 000 - 800 =4 200 ,因此 P(Y=4 200) =P (40< X <80) =p 1= ;当 X≥ 80 时,两台发电机运行,此时 Y=5 000 ×2= 10 000 ,因此 2 P(Y= 10 000) =P(X≥ 80) =p 2+p 3= . 由此得 Y 的分布列如下: Y4 200 10 000 P 所以,E(Y)=4 200 × + 10 000 × =8 840.[9 分] ③安装 3 台发电机的情形. 依题意,当 40< X <80 时,一台发电机运行,此时 Y=5 000 -1 600 =3 400 ,因此 P(Y=3 400) =P (40< X <80) =p 1= ;当 80≤X≤ 120 时, 两台发电机运行, 此时 Y=5 000 ×2- 800 =9 200 , 因此P(Y=9 200) =P (80 ≤X≤ 120) =p 2= ;当X >12 0时, 三台发电机运行,此时Y=5 000 ×3 = 15 000 ,因此 P(Y= 15 000) =P(X >120) =p 3= ,由此得 Y 的分布列如下: Y3 400 9 200 15 000 P