【步步高】（全国通用）2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 第二篇 第6讲 函数与导数 理.doc

【步步高】（全国通用）2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 第二篇 第6讲 函数与导数 理.doc1 第6讲函数与导数题型一利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题例1 (13 分)(2014 · 安徽) 设函数 f(x)=1+ (1+a)x-x 2-x 3 ,其中 a >0. (1) 讨论 f(x) 在其定义域上的单调性; (2) 当x∈[0,1] 时,求 f(x) 取得最大值和最小值时的 x 的值. 规范解答解(1) f(x) 的定义域为(-∞,+ ∞), f′(x)=1+a-2x-3x 2 .[1 分] 令f′(x)=0, 得x 1= -1-4+3a3 ,x 2= -1+4+3a3 ,x 1<x 2, 所以 f′(x) =- 3(x-x 1 )(x-x 2 ).[2 分] 当x<x 1或x>x 2 时, f′(x )<0 ; 当x 1<x<x 2 时, f′(x )>0.[4 分] 故f(x)在(-∞,x 1)和(x 2 ,+ ∞) 内单调递减,在(x 1,x 2) 内单调递增.[5 分] (2) 因为 a >0 ,所以 x 1 <0,x 2 >0.[6 分] ①当a≥4 时, x 2≥1 ,由(1) 知, f(x)在[0,1] 上单调递增, 所以 f(x)在x=0和x=1 处分别取得最小值和最大值; [8分] ②当 0<a <4 时, x 2 <1 ,由(1) 知, f(x)在[0,x 2] 上单调递增,在[x 2, 1] 上单调递减, 所以 f(x)在x=x 2= -1+4+3a3 处取得最大值.[10 分] 又f (0) =1,f (1) =a, 所以当 0<a <1 时, f(x)在x=1 处取得最小值; [11 分] 当a=1 时, f(x)在x=0 处和 x=1 处同时取得最小值; [12 分] 当 1<a <4 时, f(x)在x=0 处取得最小值.[13 分] 评分细则第(1) 问得分点 1. 若没写出定义域可不扣分. ′(x )<0 与f′(x )>0 解集出错,只得 2分. (-∞,x 1)和(x 2 ,+ ∞) 中间用∪连接,扣 1分. 第(2) 问得分点 2 1. 没根据 a≥4与 0<a <4 分类讨论,不得分. 0<a <4 时,没根据 0<a <1,a= 1,1< a <4 讨论,扣 3分. >4与 0<a≤4 分类讨论,同样得分. 0<a <4 时,把 a=1 合并在 0<a <1或 1<a <4 讨论,同样得分. 第一步:确定函数的定义域. 如本题函数的定义域为 R; 第二步:求 f(x) 的导数 f′(x); 第三步:求方程 f′(x)=0 的根; 第四步:利用 f′(x)=0 的根和不可导点的 x 的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间,并列出表格; 第五步:由 f′(x) 在小开区间内的正、负值判断 f(x) 在小开区间内的单调性; 第六步:明确规范地表述结论; 第七步:反思回顾. 查看关键点、易错点及解题规范. 跟踪训练 1 已知函数 f(x)= 2 ax-a 2+1x 2+1 (x∈R ). 其中 a∈R. (1) 当a=1 时,求曲线 y=f(x) 在点(2,f (2)) 处的切线方程; (2) 当a≠0 时,求函数 f(x) 的单调区间与极值. 题型二导数的综合应用问题 3 例2 (12 分)(2014 · 课标全国Ⅰ)f(x)=a lnx+ 1-a