非简谐波与傅里叶变换技巧.doc

非简谐波与傅里叶变换数学与统计学学院 1407 班颜晋琳 201421 2560 简谐振动在空间传递时形成的波动称为简谐波, 其波函数为正弦或余弦函数形式。各点的振动具有相同的频率 v ,称为波的频率,频率的倒数为周期,即 T=1/f 。在波的传播方向上振动状态完全相同的相邻两个点间的距离称为波长,用λ表示, 波长的倒数称波数。单位时间内扰动所传播的距离 u 称为波速。波速、频率和波长三者间的关系为 u=v λ。波速与波的种类和传播介质的性质有关。波的振幅和相位一般是空间位置 r 的函数。常见的简谐振动有单摆, 活塞的往复运动, 一小球沿半径很大的光滑凹球面滚动等。但实际上, 波所传递的振动不一定是简谐振动, 而是较复杂的周期运动, 称为非简谐波。任何非简谐波都可看成是由许多频率各异的简谐波叠加而成。阻尼运动和受迫振动就属于常见的非简谐振动。阻尼振动: 由于振动系统受到摩擦和介质阻力或其他能耗而使振幅随时间逐渐衰减的振动。根据物理情景可得到其运动学方程和微分方程,通过数学手段解其方程可得三个解,分别对应欠阻尼,过阻尼和临界阻尼三种情况。受迫振动: 振动系统在周期性的外力作用下, 其所发生的振动称为受迫振动, 这个周期性的外力称为驱动力。如图所示:受迫振动的振幅随着外力的频率的增大先增大后减小。下面我们对不同振幅不同初相不同角频率的简谐波进行波的叠加分析。 1. 同频率的平行简谐波的非简谐波其中由下图,可以感受一下不同种类(相同或者不同的振幅,初相)波叠加后的函数关系。接下来我们着重研究几种不同种类的波的叠加形成的非简谐波(以下皆是指定位置处的 x 振动随时间的变化) 2. 不同频率的平行简谐振动的合成-拍其中,当波 2 的角频率略大于波 1 的时候,有可得: 两个不同频率的平行简谐波的合成是一种振幅作周期性变化的非简谐波。非简谐波的傅里叶变换傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/ 或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。大多数乐器奏出的声波都是非简谐的波。上图示意的是 3 种乐器奏相同音的波形图。我们耳朵能区分这些声音。以上是在相同条件下的不同乐器的相对强度的组成。如上图,声波可以视为不同数量的不同振幅,周期的简谐波叠加而成的非简谐波。电子合成器能通过不同的电子波合成产生不同的乐器的特有的声音: 波谱分析波谱分析主要是以光学理论为基础, 以物质与光相互作用为条件, 建立物质分子结构与电磁辐射之间的相互关系, 从而进行物质分子几何异构、立体异构、构象异构和分子结构分析和鉴定的方法。波谱分析应用举例: . 紫外- 可见光谱 20 世纪 30 年代, 光电效应应用于光强度的控制产生第一台分光光度计并由于单色器材料的改进, 是这种古老的分析方法由可见光区扩展到紫外光区和红外光区。紫外光谱具有灵敏度和准确度高,应用广泛,对大部分有机物和很多金属及非金属及其化合物都能进行定性、定量分析, 且仪器的价格便宜, 操作简单、快速, 易于普及推广, 所以至今它仍是有机化合物结构鉴定的重要工具。近年来, 由于采用了先进的分光、检测及计算机技术, 使仪器的性能得到极大的提高, 加上各种方法的不断创新与改善, 使紫外光谱法成为含发色团化合物的结构鉴定、定性和定量分析不可或缺的方法之一。 . 红外光谱 1947 年,第一台实用的双光束自动记录的红