非线性方程组的解技巧.ppt

非线性方程组的解法简介小组成员:田芳王悦瑜冯同同杨林非线性方程组的解法 1、基本概念非线性问题可以分为三类:几何非线性、材料非线性及边界条件非线性。无论哪一种非线性问题,总是最终归结为求解非线性代数方程组: ?????????? 0??PK??式中: ?? P——荷载矩阵; ??????????K ——节点位移矩阵; ——总体刚度矩阵。[K] 不再是常数矩阵,而是随结构的应力和位移的变化而变化的。对于上述非线性代数方程组,常用解法有迭代法、增量法以及由两者结合起来派生的其他方法。非线性方程组的解法 2、迭代法迭代法在每次迭代过程中都施加全部荷载,但逐步修改位移和应变,使之满足非线性的应力-应变关系。 1)割线刚度迭代法割线刚度迭代法是迭代法中比较简单的一种, 又称直接迭代法,其迭代过程如图所示非线性方程组的解法在某级荷载 P作用下,用初始刚度矩阵,求得位移的第一次近似值然后,利用求的单元的应变、应力,根据应力状态确定此刻的本构矩阵,再根据这一本构矩阵求得新的割线刚度矩阵,再求得位移的第二次近似值?????? PK 101 ????? 1??? 1K?????? PK 112 ???重复上述过程,可以得到 n次近似解: ?????? PK nn 11 ????直到误差的某种范数小于容许值,迭代即可终止: ???? rnnee????1??非线性方程组的解法特点: a)步骤简单。 b)每步都要重新计算[K] ,再重新分解并求解线性方程组,计算量大。 c)收敛性有时难以保证,如图所示。非线性方程组的解法 2)切线刚度迭代法切线刚度迭代法是一种变刚度迭代法,但不是用割线刚度而是用变化的切线刚度。其迭代过程如图所示。这一迭代法又称为 Newton- Raphson 法。首先取初始刚度矩阵,求得位移的第一次近似值?? 0K?????? PK 101 ???非线性方程组的解法由初始位移可以求得单元应变,进而求得单元应力。有单元应力可以求得相应的节点荷载。从而求得位移的第二次近似值为?? 1P?? 1??? 1K ?????? 11PPP????? 2???????? 11PPP????????? 1 112PK??????????? 212??????重复上述步骤?????? 11????? nnPPP?????? 1 11?????? nnnPK??????? nnn???????1 第二步,用相应于时的切线模量,在荷载作用下求得位移增量,即直到误差的某种范数小于容许值,迭代即可终止非线性方程组的解法 3)等刚度迭代法具体步骤: a)首先取初始刚度矩阵,求得位移的第一次近似值等刚度迭代法又称为修正的 Newton-Raphson 法,这一方法在迭代过程中采用不变的刚度。 b)按求出单元应变,有单元应变求的单元应力,其中为材料本构矩阵,由应力可以求得相当的节点力为?????? PK 101 ????? 0K?? 1??? 1??????? 101??D??? 0D?????? dV BP T??? 1其中, 为几何矩阵,这样与原加荷载的差为?????? 11PPP???非线性方程组的解法 c)将再加于结构,仍用初始刚度求得附加位移将再加于结构,仍用初始刚度求得附加位移 d)重复上述步骤,知道得到足够近似的解。特点: a)每轮迭代只改变荷载项, [K] 保持不变,故只需分解一次系数矩阵,计算量大为减小。 b)收敛性速度变慢。?? 1P??? 0K?????? 1 102PK?????非线性方程组的解法 3、增量法增量法的基本思想是将荷载划分为许多小的荷载部分(称为增量),这些荷载增量一般取成大小相等,也可根据需要改为不等。计算时每次施加一个荷载增量。在一个荷载增量中,假定刚度矩阵是常数;在不同的荷载增量中,刚度矩阵可以有不同的数值。增量法使用一系列线性问题去逼近非线性问题,实质上时用分段线性去代替非线性曲线。