常系数线性差分方程的求解.ppt

§ 常系数线性差分方程的求解?主要内容?重点: 用时域经典法求常系数线性差分方程?求解常系数线性差分方程的方法?零输入响应与零状态响应线性时不变离散系统的差分方程是常系数线性差分方程,基本形式: )()1()1()( 1 10 NnyaNnyanyanya N N?????????? M) x(n b)M x(b) x(n b x(n) b N N??????????1 1 1 10???????? Mr r Nk krnxbknya 0 0)()(或写成在差分方程中,各序列的序号自 n以递减方式给出,称为后向(或右移序)差分方程。 4、变换域法( Z变换法) 逐次代入求解, 概念清楚, 比较简便, 适用于计算机,缺点是不易得出通式解答。 1、迭代法 2、时域经典法 3、全响应=零输入响应+零状态响应零输入响应求解与齐次通解方法相同零状态响应求解利用卷积和法求解,十分重要。求解过程比较麻烦一、求解常系数线性差分方程的方法全响应=齐次解+特解自由响应强迫响应本章着重介绍时域中求常系数线性差分方法,下一章详细研究 Z变换方法。下面我们学****时域经典法解常系数线性差分方程。时域经典解法 1、齐次解一般差分方程对应的齐次方程的形式为一般情况下,对于任意阶的差分方程,它们的齐次解的形式为的项组合而成。 nC?0 0???? Nk knkCa?消去常数 C,并逐项除以得到: Nn??0 1 110 0??????????? N N N N Nk kNkaaaaCa?????上式称为齐次微分方程的特征方程,其根称为差分方程的特征根。 N????,, 21 0)()1()1()( 1 10 ??????????NnyaNnyanyanya N N?非重根时的齐次解?????? Nk nkk nNN nnC 0 2211????? K次重根时的齐次解??????????? Ki niKi nK K K C 1 1 11 22 11) (???共轭根时的齐次解 0 2,1 ??? je jba ???? n n jbaC y)()()( 2 1????有一个 K重复根时的齐次解 0 1 22 11 0 1 22 11 sin ) ( cos ) ()( ????nDnD nDnD y nK K K K nK K K K?????????????????? 0 20 1 sin cos????nCnC n n?? 0)(6)1(5)2(?????nynyny初始条件为 y(0)=2 和y(1)=3 ,求方程的齐次解。,2 21???? nn y)3()2()( 21??于是由初始条件 212) y??? 21323) y???解得: 1,3 21???CC故齐次解 nn hny3)2(3)(?? 0)3 )(2(65 2??????????解:特征方程为 2、特解特解得求法:将激励 x(n) 代入差分方程右端得到自由项,特解的形式与自由项及特征根的形式有关。(1)自由项为 n k的多项式 1不是特征根: k kk pD nDnDny?????? 110)(1是K重特征根: ) ()( 110k kkK pD nDnDnny??????(2)自由项为 na不是特征根, 则特解 a n p Da ny?)(是特征单根, 则特解 a n paDnDny)()( 21??是k重特征根, 则特解 a nk kk paD nDnDny) ()( 1 121???????(3)自由项为正弦或余弦表达式 0 cos ?n 0201 cos sin )(??nDnDny p?? 0 sin ?n(4)自由项为正弦) cos sin ( 0201???nAnA n?不是特征根 0?? je ?) cos sin ()( 0201???nDnD ny n p??) cos sin ()( 0201???nDnDnny nkp??是特征根 0?? je ?