第三章常见曲面.ppt

1 第三章常见曲面?§ 1 空间曲面和空间曲线的方程?§ 2 柱面和锥面?§ 3 旋转面?§ 4 二次曲面?§ 5 直纹面?§ 6 作简图?返回 2 § 1 空间曲面和空间曲线的方程设空间中有曲面 S。如果曲面 S上每一点的坐标都满足方程反之,任何满足方程() 的数组(x,y,z) 一定是曲面 S 上的某个点的坐标,那么方程() 就称为曲面 S的一般方程,曲面 S称为方程() 对应的曲面. ( , , ) 0, () F x y z ?3 如果曲面 S上点的坐标表示成两个参数(u,v) 的函数, 都是区间由它们给出的方程组称为曲面 S的参数方程,其中对于(u,v) 的每一对值,由() 确定的点(x,y,z) 在S上;而S上任一点的坐标都可由(u,v) 的某一对值通过() 表示。于是通过曲面的参数方程(), 曲面上的点(可能要除去个别点)便可由数对(u,v) 来确定。 123 ( , ), ( , ), ( , ), x f u v y f u v z f u v ???????? 1 2 1 2 , , , u I v I I I ? ? 1 2 , () u I v I ? ? 4 设空间中有一条曲线Г,如果曲线Г上每一个点的坐标都满足方程组反之,任何满足() 的数组(x,y,z) 都是曲线Г上某个点的坐标,那么称() 为曲线Г的一般方程,曲线Г称为方程组() 对应的曲线。空间曲线可视为两曲面的交线。如果曲线Г上点的坐标是某个参数的函数, 是区间,由它们给出的方程组称为曲线Г的参数方程。( , , ) 0, () ( , , ) 0, F x y z G x y z ?????123 ( ), ( ), , () ( ), x t y t t I z t ??????? ????? I t I ?5 其中对于 t 的每一个值,由() 确定的点(x,y,z) 在Г上, 而Г上任一点的坐标都可由 t 的某个值通过() 表示。 6 例1:求以为球心,R为半径的球面方程。解:球面上任一点(x,y,z) 到球心的距离为 R,因此它满足方程反之,满足() 的任何点到的距离为 R,因此属于球面。因而,( )是球面方程。下面建立球面的参数方程。设球心在原点,半径为 R,在球面上任取一点 M(x,y,z), 从M作 xOy 面的垂线,垂足为 N,连 OM,ON 。设 x轴到的角度(逆时针方向)为, 到的角度为(M 在 xOy 面上方时, 为正,反之为负)(见图 ), 2 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) , () x x y y z z R ? ???????, , x y z ?? 0 0 0 , , x y z ON ????? ON ???? OM ????????? 0 0 0 , , x y z 7 R?? MN图 8 则有就是球心在原点,半径为 R的球面的参数方程, 称为经度,θ称为纬度。 cos cos , cos sin , sin , x R y R z R ? ?? ?????????? 0 2 () 2 2 ? ?? ??? ?? ???9 因为空间中任一点 M(x,y,z) 必在以原点为球心,以 R= 为半径的球面上,而球面上的点(除去它与 z轴的交点外)又由参数( ) 唯一确定,因此,除去 z轴外,空间中的点 M由有序三数组( ) 唯一确定,我们把( ) 称为空间中点 M的球面坐标,其中, 。点 M的球面坐标( ) 与M直角坐标(x,y,z) 的关系由() 给出。 OM ????? 0, , 2 2 R ? ??? ?? ??? ?? ?, , R ??, , R ??, , R ??, ?? 10 例2:求以 Oz 为对称轴,到对称轴的距离为 R 的圆柱面方程,其中, R称为圆柱面的半径。解:设点(x,y,z) 为柱面上的点