第八章多元函数微分法及其应用.doc

高等数学教案§8多元函数微分法及其应用高等数学课程建设组第八章多元函数微分法及其应用教学目的: 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件, 会求二元函数的极值, 会用拉格郎日乘数法求条件极值, 会求简多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题。教学重点: 1、二元函数的极限与连续性; 2、函数的偏导数和全微分; 3、方向导数与梯度的概念及其计算; 4、多元复合函数偏导数; 5、隐函数的偏导数 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线; 7、多元函数极值和条件极值的求法。教学难点: 1、二元函数的极限与连续性的概念; 2、全微分形式的不变性; 3、复合函数偏导数的求法; 4、二元函数的二阶泰勒公式; 5、隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数; 6、拉格郎日乘数法; 7、多元函数的最大值和最小值。高等数学教案§8多元函数微分法及其应用高等数学课程建设组§8?1 多元函数的基本概念一、平面点集 n 维空间 1 .平面点集由平面解析几何知道?当在平面上引入了一个直角坐标系后?平面上的点P 与有序二元实数组(x?y) 之间就建立了一一对应?于是?我们常把有序实数组(x?y) 与平面上的点 P 视作是等同的?这种建立了坐标系的平面称为坐标平面?二元的序实数组(x?y) 的全体?即R 2?R?R?{(x?y )|x?y?R} 就表示坐标平面?坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合?称为平面点集?记作 E?{(x?y )|(x?y) 具有性质 P}?例如?平面上以原点为中心、 r 为半径的圆内所有点的集合是 C?{(x?y )|x 2?y 2?r 2}?如果我们以点 P 表示(x?y)?以| OP | 表示点 P 到原点 O 的距离?那么集合 C 可表成 C?{P|| OP |?r}?邻域?设P 0(x 0?y 0)是 xOy 平面上的一个点??是某一正数?与点 P 0(x 0?y 0) 距离小于?的点 P(x?y) 的全体?称为点 P 0的?邻域?记为 U(P 0????即}|||{),( 00???? PP PPU 或})()(|), {(),( 20 200???????yyxxyxPU ?邻域的几何意义?U(P 0??) 表示 xOy 平面上以点 P 0(x 0?y 0) 为中心、?>0 为半径的圆的内部的点P(x?y) 的全体?点P 0 的去心?邻域?记作),( 0?PU ??即}||0|{),( 00?????PPPPU ??注?如果不需要强调邻域的半径??则用 U(P 0) 表示点 P 0 的某个邻域?点P 0 的去心邻域记作)( 0PU ??点与点集之间的关系?任意一点 P?R 2 与任意一个点集 E?R 2 之间必有以下三种关系中的一种?(1) 内点?如果存在点 P 的某一邻域 U(P)?使得 U(P)?E?则称 P为E 的内点?(2) 外点?如果存在点 P 的某个邻域 U(P)?使得 U(P)?E???则称 P为E 的外点?(3) 边界点?如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点?也有不属于E 的点?则称P点为E 的边点?E 的边界点的全体?称为 E 的边界?记作?E? E 的内点必属于 E?E 的外点必定不属于 E?而E 的边界点可能属于 E?也可能不属于 E?聚点?高等数学教案§8多元函数微分法及其应用高等数学课程建设组如果对于任意给定的??0?点P 的去心邻域),(?PU ?内总有 E 中的点?则称 P是E 的聚点?由聚点的定义可知?点集 E 的聚点 P 本身?可以属于 E?也可能不属于 E?例如?设平面点集 E?{(x?y )|1?x 2?y 2? 2}?满足 1?x 2?y 2?2 的一切点(x?y) 都是 E 的内点?满足 x 2?y 2?1 的一切点(x?y) 都是 E 的边界点?它们都不属于E?满足x 2?y 2?2 的一切点(x?y)也是E 的边界点?它们都属于E?点集E 以及它的界边?E 上的一切点都是 E 的聚点?开集?如果点集 E 的点都是内点?则称 E 为开集?闭集?如果点集的余集 E c 为开集?则称 E 为闭集?开集的例子?E?{(x?y )|1< x