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第四章中值定理与导数的应用.doc


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第四章中值定理与导数的应用本章的内容是微分学的应用,,需要先阐明微分学的几个中值定理,它是用导数来研究函数本身性质的重要工具,也是解决实际问题的理论基础. § 微分中值定理定义 4 . 设)(xf 在 0x 的某一邻域)( 0xU 内有定义,若对一切)( 0xUx?有),)( (x) ()()( 00xffxfxf??则称)(xf 在 0x 取得极小(大)值,称 0x 是)(xf 的极小(大) 值点,极小值和极大值统称为极值,极小值点和极大值点统称为极值点. 定理 4 . (费马定理) 若)(xf 在 0x 可导,且在 0x 取得极值,则 0)( 0??xf . 证设)(xf 在 0x 取得极大值,则存在 0x 的某邻域)( 0xU ,使对一切)( 0xUx?有)( (x) 0xff?.因此当 0xx?时0 )()( 0 0???xx xfxf ; 而当 0xx?时0 )()( 0 0???xx xfxf ; 由于)(xf 在 0x 可导,故按极限的不等式性质可得 0 )()( lim )()( 0 000?????????xx xfxfxfxf xx 及0 )()( lim )()( 0 000?????????xx xfxfxfxf xx, 所以 0)( 0??xf . ox 0xyb ?x oa 若)(xf 在 0x 取得极小值,则类似可证 0)( 0??xf . 图4—1 费马定理的几何意义如图 4-1 所示:若曲线)(xfy?在 0x 取得极大值或极小值, 且曲线在 0x 有切线,则此切线必平行于 x 轴****惯上我们称使得 0)(??xf 的x 为)(xf 表明:可导函数)(xf 在 0x 取得极值的必要条件是 0x 为)(xf 的驻点. 定理 (罗尔中值定理) 若)(xf 在],[ba 上连续,在),(ba 内可导且)()(bfaf?,则在),(ba 内至少存在一点?,使得 0)(???f . 证因为)(xf 在],[ba 上连续,故在],[ba 上必取得最大值 M 与最小值 m .若 Mm?,则)(xf 在],[ba 上恒为常数,从而 0)(??xf .这时在),(ba 内任取一点作为?, 都有 0)(???f ;若 Mm?,则由)()(bfaf?可知,点 m 和M 两者之中至少有一个是)(xf 在),(ba 内部一点?)(xf 在),(ba 内可导,故由费马定理推知 0)(???f .图4—2 y x x 罗尔中值定理的几何意义如图 4-2 所示:在两端高度相同的一段连续曲线上,若除端点外它在每一点都有不垂直于 x 轴的切线,则在其中必至少有一条切线平行于 x 轴. 例1 不用求出函数)4 )(3 )(2 )(1()(?????xxxxxf 的导数,说明 0)(??xf 有几个实根,并指出它们所在的位置. 解由于)(xf 是),( ????内的可导函数,且0)4()3()2()1(????ffff ,故)(xf 在区间]4,3[ ],3,2[ ],2,1[ 上分别满足罗尔中值定理的条件,从而推出至少存在)4,3( ),3,2( ),2,1( 321??????,使得)3,2,1(0)(???if i?. 又因为 0)(??xf 是三次代数方程,它最多只有 3 个实根,因此 0)(??xf 有且仅有 3 个实根,它们分别位于区间)4,3( ),3,2( ),2,1( 内. 例2设01 ...2 10?????n aaa n ,证明多项式 nnxaxaaxf????...)( 10在)1,0( 内至少有一个零点. 证令,1 ...2 )( 1210 ?????? nnxn ax axaxF 则)()(xfxF??,0)0(?F ,且由假设知 0)1(?F ,可见)(xF 在区间]1,0[ 上满足罗尔中值定理的条件,从而推出至少存在一点)1,0(??,使得 0)()(?????fF . 即说明)1,0(??是)(xf 的一个零点. 定理 ( 拉格朗日中值定理)若)(xf 在],[ba 上连续,在),(ba 内可导,则在),(ba 内至少存在一点?,使得 ab afbff????)()()(?.() 从这个定理的条件与结论可见,若)(xf 在],[ba 上满足拉格朗日中值定理的条件, 则当)()(bfaf?时,即得出罗尔中值定理的结论,,. 证作辅助函数 yx o CA B)(xfy?xab afbfy???)()(ab? xab afbfxfxF????)

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  • 时间2017-01-24