第四节.ppt

一、问题的提出一、问题的提出二、特征值与特征向量的性质二、特征值与特征向量的性质三、对称矩阵对角化的步骤三、对称矩阵对角化的步骤第第四四节节对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化四、举例四、举例而有的就不能找到 n个线性无关的特征向量. 上一节我们讨论了矩阵能对角化的充要条件:n阶方阵 A能对角化的充要条件是 A , 有的 n阶方阵能找到 n个线性无关的特征向量, 一、问题的提出一、问题的提出矩阵的情形. 那么,一个 n阶方阵到底应具备什么条件时才能对角化?这是一个较复杂的问题. 此不进行一般性的讨论,而仅讨论当 A为实对称我们对定理定理 5 5 、特征值与特征向量的性质二、特征值与特征向量的性质础解系, 所以对应的特征向量可以取实向量. 显然, 当特征值?为实数时, 齐次线性方程组(A-?E)x = 0 是实系数方程组, 由| A -?E | = 0 知必有实的基 p p 1 1 , , p p 2 2正交正交. . 定理定理 6 6 设设?? 1 1 , , ?? 2 2是对称矩阵是对称矩阵 A A的两个特的两个特征值征值, , p p 1 1 , , p p 2 2是对应的特征向量是对应的特征向量, ,若若?? 1 1???? 2 2 , , 则则定理定理 7 7 设设A A为为n n阶对称矩阵阶对称矩阵, , 则必有正交则必有正交矩阵矩阵 P P , , 使使P P - -1 1 AP AP = = ??, , 其中其中??是以是以 A A的的n n个特征个特征值为对角元素的对角矩阵值为对角元素的对角矩阵. .从而对应的特征值从而对应的特征值??恰有恰有 k k个线性无关的特征向个线性无关的特征向推论推论设设A A为为n n阶对称矩阵阶对称矩阵, , ??是是A A的特的特征方程的征方程的 k k重根重根, , 则矩阵则矩阵 A A- -??E E的秩的秩 R R( (A A- -??E E ) = ) = n n- -k k , , 量量. . k 1 + k 2 + ··· +k s = n. 三、对称矩阵对角化的步骤三、对称矩阵对角化的步骤步骤步骤 1 1:求出矩阵 A的所有特征值,设 A 有s个不同的特征值? 1 , ? 2 , ··· , ? s,它们的重数分别为 k 1 , k 2 , ··· , k s, 步骤步骤 2 : 2 : 对A的每个特征值? i ,求(A-? i E)x =0 的基础解系, 设为 1 2 i i i i k p , p , , p ?(i = 1, 2, ··· , s ). 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2 s k k s s sk P ( p , p , , p , p , p , , p , , p , p , , p ), ?? ??? 1 2 1 1 2 2 s s s k k k Λ diag( λ, , λ,λ, , λ, , λ, , λ), ?? ??????????????????,以这些向量为列构并把它们正交化、单位化,仍记为 1 2 i i i i k p , p , , p ?造矩阵上的元素( A的特征值) 之间的对应关系. 则 P 为正交矩阵,且 P -1 AP = ?. 要注意矩阵 P的列与对角矩阵?主对角线例例1 1 设,011 101 110?????????????A求正交矩阵 P , 使P -1 AP 为对角矩阵. ),2()1( 2?????? A的特征多项式为???????????11 11 11 E| |A解解四、举例四、举例所以 A 的三个特征值为: .12 32 1???????,当 2 1???时, 解方程组,0)( 1??xEA?即,0211 121 112 3 2 1???????????????????????x x x得 1111 ,??? ?? ?? ?? ?? ?? ?当 1 32????时, 解方程组,0)( 2??xEA?即,0111 111 111 3 2 1??????????????????????????x x x得 2 3 1 1 1