非线性分析中弧长法的简介.doc

非线性分析弧长法的读书报告 1. 弧长法的原理弧长法属于双重目标控制方法,即在求解过程中同时控制荷载因子和位移增量的步长。其基本的控制方程为: ???????? 222lPP TT??????????(1) 式中: ??为荷载因子增量数值?为荷载比例系数,用于控制弧长法中荷载因子增量所占的比重 l?为固定的半径在求解过程中,荷载因子增量??在迭代中是变化的,下列非线性静力平衡的迭代求解公式中存在 n 个未知数,即???????????? ji ji ji jiFPK?????????11210, , ?i (2) 这样,在弧长法中一共存在 1?n 个未知数,根据约束方程: ???????? 222lPP TT??????????即为附加的控制方程,问题才能得到解答,此时,可以根据?值的取值分为两种弧长法,其中,0??时的弧长法称为球面弧长法,0??时的弧长法称为柱面弧长法。 球面弧长法如下图所示,根据图中所示来说明弧长法的求解策略: 在第 j 步荷载增量第 i 次迭代分析中,结构的位移增量}{ 1 ji???可由式( 2 )来计算,即}{ )]([ )}({ )]([ }){ )}( ({ )]([ )}) ({}{}{( )]([ )}) ({}{( )]([}{ 11 1 1 1 1 1 1 11PKK PK FPPK FPK ji ji ji ji ji ji ji ji ji ji ji ji ji ji ji??????????????????????????????????????????(3) 由于刚度矩阵不对称以及带宽被改变,通常情况下直接联立求解式( 1)和式( 3)中 1?n 个变量相当困难。通常,将式(3) 中}{ 1 ji???分解为两个部分,即 ji pji ji gji1111}{}{}{ ??????????????(4) 式中, )}({ )]([}{ 11 ji ji ji gK?????????(5) 说明 ji j1}{ ???的第一项 ji g1}{ ???为采用荷载控制的标准切线刚度迭代求解的结果; PK ji ji p11 )]([}{ ??????(6) 说明 ji j1}{ ???的第二项 ji p1}{ ???为考虑荷载}{P 下按当前结构刚度)]([ jiK?计算出来的位移增量。至此,式(4) 中仍有 ji1???为未知量,现在只有借助控制方程(1)来求解。第i 次迭代结束后相应于迭代初始点(上图中 1?j 点)的位移增量}{ 1?? i?为}{}{}{ 11?????? iii ????(7) 将( 7)式代入控制方程( 1)式,并考虑迭代前后弧长保持不变,故得到:}{}{)(}{}{}{}{)(}{}{ 22111 222PPPPl Tji ji Tji Tji ji Tji??????????????????????(8) 式中: ji??与 ji1???分别为第 i 次迭代前后荷载因子相对于迭代初始点(上图中 1?j 点)的增量,它们有如下关系: ji ji ji11??????????(9) 将(4) 代入(9) 中,可得: (10) 式中: }{}{}{}{ 211ppA Tji p Tji p??????????}{}{2)}{} ({}{2 211pp B Tji ji gj