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计算方法各章小结
第一章计算方法与误差小结
误差在数值计算中是不可避免的,误差的传播和积累直接影响到计算结果的精度。在研究算法的同时,必须注重误差分析,使建立起来的算法科学有效。绝大多数情况下不存在绝对的严格和精确,在考虑数值算法时要能将误差限制在许可的范围之内,这种算法就是数值稳定的。
本章介绍了计算方法和误差理论的基本概念,并且对误差的产生与防止进行了分析;同时介绍了绝对误差(限)、相对误差(限)、有效数字的概念和三者的联系及计算的方法;最后介绍了误差在近似值运算中的传播、估算方法和数值稳定性的概念以及减少运算误差的原则。
按照误差产生的来源可分为模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差等。
误差的表示法有绝对误差和相对误差两种。
在表示一个近似数时,要用到有效数字的概念,这在数值计算中非常有用,有效数字是由绝对误差决定的。
通常用函数的泰勒展开对误差进行估计。
第二章一元非线性方程数值解法小结
非线性方程厂f(x)=o的解通常叫做方程的根,也叫做函数,f(x)的零点,本章讨论了求解非线性方程近似根常用的一些数值方法。先要确定有根区间,且对于收敛的迭代格式,这个区间要足够小。针对各种求根的数值方法的特点,要考虑其收敛性、收敛速度和计算量。
二分法是逐步将含根区间分半,主要用来求实根,特别适合于为收敛的迭代公式提供好的初值。
迭代法是一种逐次逼近的方法,这种方法是建章在已知方程根的大致位置的基础上,迭代法只是起着把根的精确值一步一步算出来的作用,即通过迭代公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,直到求出满足精度要求的结果。一通过选代牧敛的理论可知,迭代法具有线性收敛速度。迭代法不仅可用于含一个未知元的一个方程,也可用于含多个未知元的方程组。
牛顿法具有较快的收敛速度,但对初值选取要求较高。扩大初值的选取范围,可采用牛顿下山法。
若改用差商替换牛顿公式中的导数后得到的迭代公式便是弦截法,它避开了导数的计算,具有超线性的收敛速度,每计算一步,要用到前面两步的信息。
迭代法的收敛速度,即误差下降速度是衡量迭代法的一个重要准则,而迭代一步所花费的计算量也可用来作为一个衡量标准。对于具体问题可具体分析。
第三章解线性方程组的直接方法小结
本章介绍了解线性方程组的直接法。直接法是_种计算量小而精度高的方法。直接法中具有代表性的算法是高斯消去法(在第奠嘉提到的克莱姆算法也是J种直接法,但该算法用于高阶方程组时计算量太大而不实用),其他算法大都是它的变型,这类方法是解具有稠密矩阵或非结构矩阵(零元分布无规律)方程组的有效方法。
选主元的算法有很好的数值稳定性。从计算简单出发实际中多选用列主元法。解三对角矩阵方程组(A的对角元占优)的追赶法以及解对称正定矩阵方程组的平方根法都是三角分解法,且都是数值稳定的方法,这些方法不选主元素,也具有较高的精度。
向量、矩阵的范数、矩阵的条件数和病态方程组的概念,是数值计算中一些基本概念。线性方程组的病态程度是其本身的固有杼睦,因此即使用数值稳定的方法求解,也难以克服严重病态导致的解的失真。在病态不十分严重时,用双精度求解可减轻病态的影响。
在实际应用中如何选择算法是一个重要问题,往往从三个方面考虑:
1)解的精度高。
2)计算量小。
3)所需计算机内存小。
但这些条件相互间是