函数与方程思想.docx

函数与方程思想考试说明指出:“高考把函数与方程的思想作为思想方法的重点来考查, 使用填空题考查函数与方程思想的基本运算, 而在解答题中, 则从更深的层次, 在知识网络的交汇处, 从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查. ”函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系, 建立函数关系或构造函数, 运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决. 方程的思想, 就是分析数学问题中各个量及其关系, 建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组, 通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解的情况, 使问题得以解决. 函数和方程的思想简单地说,就是学会用函数和变量来思考,学会转化已知与未知的关系, 对函数和方程思想的考查, 主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题, 一般情况下, 凡是涉及未知数问题都可能用到函数与方程的思想. 函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面: (1) 借助有关初等函数的图象性质, 解有关求值、解(证) 方程( 等式) 或不等式, 讨论参数的取值范围等问题; (2) 通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型,由所构造的函数的性质、结论得出问题的解. 由于函数在高中数学中的举足轻重的地位, 因而函数与方程的思想一直是高考要考查的重点, 对基本初等函数的图象及性质要牢固掌握, 另外函数与方程的思想在解析几何、立体几何、数列等知识中的广泛应用也要重视. 1. 设集合 A={- 1,1,3} ,B= {a+2,a 2+ 4},A∩B= {3} ,则实数 a= ________. 2. 函数 f(x) = ax-a+1 存在零点 x 0 ,且 x 0∈[0,2] ,则实数 a 的取值范围是________ . 3. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别为 2, 3, 6 ,则该长方体的外接球体积为________ . 4. 关于 x 的方程 sin 2x+ cosx +a=0 有实根,则实数 a 的取值范围是________ . 【例 1】设函数 f(x) = ax 2+ bx+ c(a>0) ,且 f(1) =- a2 . (1) 求证:函数 f(x) 有两个零点; (2) 设x 1,x 2 是函数 f(x) 的两个零点,求|x 1-x 2| 的取值范围; (3) 求证:函数 f(x) 的零点 x 1,x 2 至少有一个在区间(0,2) 内. 【例 2】如图,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x 2= 4y 相切于点 A. (1) 求实数 b 的值; (2) 求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程. 【例 3】已知函数 f(x) = x|x 2- 3|,x∈[0, m] ,其中 m∈R ,且 m>0 (1) 若 m<1 ,求证:函数 f(x) 是增函数; (2) 如果函数 f(x) 的值域是[0,2] ,试求 m 的取值范围; (3) 如果函数 f(x) 的值域是[0,λm 2] ,试求实数λ的最小值. 1. (2011 · 北京) 已知